数学竞赛中的条件最值问题

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1、10中等数学数学竞赛中的条件最值问题江厚利(安徽省安庆市第一中学,246003)(本讲适合高中)2配方法条件最值问题是数学竞赛中的热点之一.解这类问题涉及的知识面较广,且技巧性先将所给函数表达式(或隐函数方程)配较强.本文通过例题介绍求多元函数条件最成若干个平方式及一些常数的代数和的形值的常用方法和技巧.式,然后再求最值.22例2试求函数f(x,y)=6(x+y)#1数形转换22(x+y)-4(x+xy+y)-3(x+y)+5在在求条件最值时,利用数形结合的思想区域A={(x,y)

2、x>0,y>0}上的最小值.方法,由数想形,直观转化,有时容易奏效.讲解:若x+y[1

3、,则例1已知a、b是正实数,方程xy[1(x+y)2[1.2244x+ax+2b=0与x+2bx+a=022故f(x,y)都有实数根.求a+b的最小值.33=6(x+y)+6xy(x+y)-4xy-讲解:由于所给方程均有实根,故得约束224(x+y)-3(x+y)+5条件12=6xy-(x+y-1)+(6x+1)#a-8b,¹4222b-a,º11x-+(6y+1)y-+a>0,b>0.»22222(x+y-1)+2求a+b的最小值,用代数方法显然比2.较棘手,于是,考虑数形转化.21如图1,作出抛物线a=8b(a>0)的右当且仅当x=y=时,上式等号成立.

4、2半支,再作出抛物线2若x+y>1,则b=a(b>0)的上半22121支,两图像交点为x+y2(x+y)>2.M(4,2).于是,满足故f(x,y)式¹、º、»的点2212图1=6x+y-2(x+y-1)+2(x-y)+2P(a,b)在图1所示的阴影区域G(含边界)上.>2.而a2+b2表示点P(a,b)与原点O的综上所述,对任意(x,y)IA,有距离的平方,易知,当a=4,b=2时,f(x,y)2.2221(a+b)min=

5、OM

6、=20.当且仅当x=y=时,f(x,y)min=2.2收稿日期:2006-03-08修回日期:2006-10-10注:配方时要兼顾各

7、个变量,还要与因式2006年第12期1122分解法结合使用.注意到(1-y)=1-2y+y1-2y>0,sin(1-y)x1-y3利用函数的单调性则[sin(1-y)x,1-y1-2y先将多元函数转化为一元函数,然后利1-ysinx[sin(1-y)x.1-2y用函数的单调性来确定最值.故(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x,例3设0[x[P,0[y[1.试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x即f(x,y).的最小值.当y=0时,等号成立.综上,当x=0或y=0时,讲解:易知,对一切0[x[P,有f(x,y)m

8、in=0.sinx,sin(1-y)x.1注:也可利用求导数方法结合tanx>x,于是,当[y[1时,f(x,y),当x2PsinxxI0,来判断函数f(x)=在=0时,等号成立.2x1P当0[y<,且x=0时,f(x,y)=0.0,上的单调性.221下面考虑0[y<,0x>sinx,元函数的最值,进而求出多元函数的最值.且sin(x+D)=sinx#cosD+cosx#sinD例4设x1,x2,,,xn取值于某个

9、长度[sinx+Dcosx.nn112sinxsin(x+D)为1的区间.记x=xj,y=xj.求故-njE=1njE=1xx+D2函数f=y-x的最大值.(x+D)sinx-xsin(x+D)=x(x+D)讲解:设x1,,,xnI[a,a+1](aIR).(x+D)sinx-x(sinx+Dcosx)当n=1时,f=0,显然,fmax=0.x(x+D)当n>1时,若固定x2,x3,,,xn,则有Dsinx-DxcosxDcosx(tanx-x)nn2==2121x(x+D)x(x+D)f=y-x=Exj-Exjnj=1nj=1>0.n1122x1故函数f(x)=s

10、inx在0,P上递减.=n-2x1-2Exj+nnj=2x2nn2P121而g(x)=sinx在,P上递减,因此,xj-xj.2njE=2njE=2sinxP由于f是x1在[a,a+1]上的二次函数,f(x)=在,P上也递减.x211二次项系数-2>0,所以,又0<(1-y)x[x[P,所以,nnsinx[sin(1-y)x,fSf(x1,x2,,,xn)x(1-y)x[max{f(a,x2,,,xn),f(a+1,x2,,,xn)}.sin(1-y)x即sinx[.1-y同理,由对称性得12中等数学f(x1,x2,,,xn)a+3c4b8c故+-a