初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]

《初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、最值问题求法例题（1）、若实数a，b，c满足a2+b2+c2=9，则代数式（a－b）2+（b—c）2+（c－a）2的最大值是（）A．27B、18C、15D、12例题（2）、如果对于不小于8的自然数N，当3N+1是一个完全平方数时，N+1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、1B、2C、3D、4例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。14例题5、若a、b满足3＋5∣b∣=7，则S=2－

2、3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。（二）、直接运用a2＋b2≥2ab(a＋b≥2)性质求最值。例题（6）、若X>0，则函数Y=＋＋的最小值。例题（7）、已知a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d=4，a2＋b2＋c2＋d2=，求a的最小值与最大值。14（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac（结合韦达定理）求最值。例题（8）、已知实数a、b、c满足a＋b＋c=2，abc=4，求a、b、c中最大者的最小值；求∣a∣＋∣b∣＋∣c∣的最小值。例题（9）、求函数Y=的最小值。14

3、（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。例题（10）、是一个五位自然数，其中a，b，c，d，e为阿拉伯数字，且a

4、(m－2)X＋m2－3m＋3=0有两个不相等的实数根X1，X2。求＋的最大值。14（六）、用方程组消元（也称主元代换法），再用不等式组确定字母取值范围，在字母约束条件下求最值。例题（14）、已知三个非负数a、b、c满足3a＋2b＋c=5,2a＋b－3c=1,若Q=3a＋b－7c,求Q的最大和最小值。（十）、用整数的性质求最值。例题（15）、若对于n≥2存在整数a1,a2,…,an使得a1＋a2＋…＋an=a1a2…an=1990,则n的最小值是————————。14（十一）、用数学建模求应用题的最值。例题（21）、某蔬菜基地种植西红柿，由历年的市场行情知，

5、从二月一日起的250天内，西红柿的市场售价P与上市时间t的关系用图（3-1）中的一条线段表示；西红柿的种植成本Q与上市时间t的关系可用图(3-2)中的抛物线来表示。（市场售价P和种植成本Q的单位：元/102kg，时间单位：天）。若认定“市场售价－种植成本=纯收益”，问何时上市的西红柿纯收益最大？解：如图（3-1）得函数关系式为：P=300－t(0≤t≤250).如图（3-2）得函数关系式为：Q=（t－150）2＋100(0≤t≤250).纯收益S=P－Q=－（t－50）2＋100.即从二月一日开始的第50天上市西红柿的纯收益最大。【说明：此类生活中的数学问

6、题，具有强烈的时代气息，来源于生活生产实际，是近年来各级各类竞赛考试的热门试题，综合性强，知识的涉及点多，知识的应用要求高，在辅导中要引起重视。】(十二)、练习题：1、已知：a<0,b≤0,c>0,且=b2－2ac,求b2－4ac的最小值。【把已知条件两边平方后得ac=b－1,代入b2－4ac就能求得最小值4。】2、已知在直角坐标系中有三点A（0，1）、B（1，3）、C（2，6），直线Y=aX＋b上横坐标为0、1、2的三点为D、E、F，试求a、b的值，使DA2＋EB2＋FC2取得最小值。【把D、E、F三点的纵坐标用含a、b的代数式表示，然后把DA2＋EB2

7、＋FC214用含a、b的二次式表示，配方后求出最小值。当a=5/2,b=5/6,最小什为1/6。】1、设X1，X2是关于X的方程X2＋aX＋a=2的两个实数根，则（X1－2X2）（X2－2X1）的最大值为——————。2、求函数Y=X4＋X2＋1的最小值。【Y=（X2＋1）2＋，当X=0时Y最小值是1。】3、四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16，这样的四边形有几个？这样的四边形边长的平方和的最小值是多少？【先由AB=a、CD=b、AC=m都是正整数,且四边形ABCD面积=三角形ABC面积＋三角形ACD面积=1/2aha

8、＋1/2bhb≤1/2(a＋b)m,当且仅当ha=hb=m时等号成