资源描述：
《初中数学竞赛中最值问题求法应用举例 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、初中数学竞赛辅导专题（三）初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：（一）根据非负数的性质求最值。1、若M=（X±a）2+b，则当X±a=0时M有最小值b。2、若M=－（X±a）2+b,则当X±a=0时M有最大值b。3、用（a±b）2≥0，∣a∣≥0,≥0的方法解题。【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】例题（1）、若实数a，b，c满足a2+b2+c2=9，则代数式（a－b）2+（b—c
2、）2+（c－a）2的最大值是（）A．27B、18C、15D、12解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca=3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca=3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca)=3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2=27－(a+b+c)2≤27.∵a2+b2+c2=9,∴a,b,c不全为0。当且仅当a+b+c=0时原式的最大值为27。【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2＋b2＋c2)后用完
3、全平方式。】例题（2）、如果对于不小于8的自然数N，当3N+1是一个完全平方数时，N+1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、1B、2C、3D、4解：设∵3N+1是完全平方数，∴设3N+1=X2（N≥8），则3不能整除X，所以X可以表示成3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）2=9P2±6P+1=3X2±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为3。选C。【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然后配方求解。】例题（3）、设a、b为实数，那么
4、a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。解：a2＋ab＋b2－a－2b=a2＋(b－1)a＋b2－2b=a2＋(b－1)a＋()2＋b2－b－=(a＋)2＋(b－1)2－1≥－1。只有当a＋=0且b－1=0时，即a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是－1。【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。解：设a2－ab＋b2=K,与a2＋ab＋b2=1联立方程组,解得：a2＋b2
5、=(1＋K),ab=(1－K)。∵(a＋b)2≥0,∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)≥0,∴K≤3.∵(a－b)2≥0,∴a2＋b2－2ab=(1＋K)－2×(1－K)≥0,∴K≥.得≤K≤3。所以a2－ab＋b2的最小值是，最大值是3，这两个值的和是3。【本题的关键在于直接运用（a±b）2≥0】例题5、若a、b满足3＋5∣b∣=7，则S=2－3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。解：联立3＋5
6、b
7、=7和S=2－3
8、b
9、两式，解得19
10、=21＋5S，19
11、b
12、=14－3S。∵19≥0,∴21＋5S≥0,S≥－。∵19∣b∣≥0,∴14－3S≥0,∴S≤,得－≤S≤。所以S的最大值为，最小值为－。【说明：这里直接运用了∣a∣≥0和≥0】（二）、直接运用a2＋b2≥2ab(a＋b≥2)性质求最值。例题（6）、若X>0，则函数Y=＋＋的最小值。解：原式=＋＋=＋＋＋≥2＋2=2＋2=4。所以原式的最小值是4。【说明：这个公式的来源是由(a－b)2≥0直接推出的。】例题（7）、已知a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d=4，a2＋b2＋c2＋d2=，求a的最
13、小值与最大值。解：∵a＋b＋c＋d=4,∴b＋c＋d=4-a,∴(b＋c＋d)2=b2＋c2＋d2＋2bc＋2cd＋2bd≤b2＋c2＋d2＋(b2＋c2)＋(c2+d2)+(d2+b2)=3(b2+c2+d2)∵b＋c＋d=4－a,∴(b＋c＋d)2=(4－a)2.∵a2＋b2＋c2＋d2=,∴b2＋c2＋d2=－a2。∴（4－a）2≤3×(－a2),化简得a(a－2)≤0,解得0≤a≤2。∴a的最小值是0，a的最大值是2。【说明，本例的关键是划线部份的变换逆用了a2＋b2≥2ab,从而达到了把(b＋c＋d)以及b2＋
14、c2＋d2都用a替换的目的。】（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac（结合韦达定理）求最值。例题（8）、已知实数a、b、c满足a＋b＋c=2，abc=4，求a、b、c中最大者的最小值；求∣a∣＋∣b∣＋∣c∣的最小值。解：，设a为最大者，则由题意得b＋c=2－a,bc=,由韦达定理得b、c是关于X的二次方程
