圆中最值问题10种求法

《圆中最值问题10种求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆中最值的十种求法　　　在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：　　一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.　　[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.　　解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P　　连

2、接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E　　在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°　　在Rt△ODE中cos30°=　　即DE=2×cos30°=所以CD=2DE=2　　即PA+PC的最小值为2.　　二、利用垂线段最短求最值　　2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3,－2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.　　[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ.在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值

3、为2.　　解：连接PA、QA　　因为PQ切⊙A于点Q所以PQ⊥AQ　　在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2　　即PQ=　　又因为A(－3,－2)，根据垂线段最短。　　所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=　　三、利用两点之间线段最短求最值　　3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为()　　A．B．2C．3D．3　　[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图

4、形，再利用两点之间线段最短来解决问题.　　解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB　　根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6　　因为4π=所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB　　所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PBPD=DB=3　　在Rt△PAD中，AD=，故选C.　　四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1

5、）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.　　[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC.当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.　　五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.　　[分析]：设BC边上的高为h　　因为S△ABC=BCh=×2h=h　　当h最大时S△ABC最

6、大，当点A在优弧的中点时h最大.　　解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D　　连接BO即BD=CD=　　在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1　　所以OD=1所以AD=2+1=3　　所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3　　即△ABC面积的最大值为3　　六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值　　6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.　　[分析]：周长

7、一定的几何图形，圆的面积最大.　　解：围成圆形场地的面积较大　　设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积　　则S1=()2=144S2=π·()2=　　因为π＜4所以＞　　所以＞=144所以S2＞S1所以应选用围成圆形场地的方案面积较大　　七、利用判别式求最值　　7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.　　[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.　　解：设AM=x，在Rt△OAM中　　

8、OM=　　所以OM+AB=+2x=a　　整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0　　因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0　　即a2≤5所以a≤　　所以OM+AB的最大值为　　　　八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值　　8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.　　[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，