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时间:2018-11-05
《圆中最值问题10种求法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、圆中最值的十种求法 在圆中求最值是中考的常见题型,也是中考中的热点、难点问题,有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法,归纳如下: 一、利用对称求最值1.如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值. [分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长. 解:延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P 连
2、接PA,过O作OE⊥CD,垂足为E 在△OCD中,因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30° 在Rt△ODE中cos30°= 即DE=2×cos30°=所以CD=2DE=2 即PA+PC的最小值为2. 二、利用垂线段最短求最值 2.如图:在直角坐标系中,点A的坐标为(-3,-2),⊙A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为. [分析]:连接AQ、PA,可知AQ⊥PQ.在Rt△PQA中,PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值,根据垂线段最短易求PA的最小值
3、为2. 解:连接PA、QA 因为PQ切⊙A于点Q所以PQ⊥AQ 在Rt△APQ中,PQ2=PA2-AQ2 即PQ= 又因为A(-3,-2),根据垂线段最短。 所以PA的最小值为2所以PQ的最小值= 三、利用两点之间线段最短求最值 3.如图:圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为() A.B.2C.3D.3 [分析]:因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D,不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图
4、形,再利用两点之间线段最短来解决问题. 解:圆锥的侧面展开图如图2,连接AB 根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6 因为4π=所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB 所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PBPD=DB=3 在Rt△PAD中,AD=,故选C. 四、利用直径是圆中最长的弦求最值4.如图:半径为2.5的⊙O中,直径AB的两侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在劣弧AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,(1
5、)求∠P的正切值;(2)当CP⊥AB时,求CD和CQ的长;当点P运动到什么位置时,CQ取得最大值,并求出此时CQ的长. [分析]:易证明△ACB∽△PCQ,所以,即CQ=PC.当PC最大时,CQ最大,而PC是⊙O的动弦,当PC是⊙O的直径时最大. 五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5.如图:已知⊙O的半径为2,弦BC的长为2,点A为弦BC所对优弧上任意一点,(B、C两点除外),求△ABC面积的最大值. [分析]:设BC边上的高为h 因为S△ABC=BCh=×2h=h 当h最大时S△ABC最
6、大,当点A在优弧的中点时h最大. 解:当点A为优弧的中点时,作AD⊥BC于D 连接BO即BD=CD= 在Rt△BDO中,OD2=OB2-BD2=22-()2=1 所以OD=1所以AD=2+1=3 所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3 即△ABC面积的最大值为3 六、利用周长一定时,圆的面积最大求最值 6.用48米长的篱笆材料,在空地上围成一个绿化场地,现有两种方案:一种是围成正方形的场地,另一种是围成圆形场地,试问选用哪一种方案,围成的场地面积较大?并说明理由. [分析]:周长
7、一定的几何图形,圆的面积最大. 解:围成圆形场地的面积较大 设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积 则S1=()2=144S2=π·()2= 因为π<4所以> 所以>=144所以S2>S1所以应选用围成圆形场地的方案面积较大 七、利用判别式求最值 7.如图:在半径为1的⊙O中,AB是弦,OM⊥AB,垂足为M,求OM+AB的最大值. [分析]:可设AM=x,把OM用x的代数式表示出来,构造关于x的一元二次方程,然后利用判别式来求最值. 解:设AM=x,在Rt△OAM中
8、OM= 所以OM+AB=+2x=a 整理得:5x2-4ax+(a2-1)=0 因为△=(-4a)2-4×5×(a2-1)≥0 即a2≤5所以a≤ 所以OM+AB的最大值为 八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值 8.如图:海边立有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为. [分析]:连接AC,易知∠ACB=∠AOB=40°,
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