圆中最值的十种求法

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1、圆中最值的十种求法值得拥有的资料是来自平时学习积累总结的有问题的地方肯定有的还请大家批评指正！圆中最值的十种求法　　　　　　江苏省泗阳县实验初级中学（223700）朱宜新（13511781172）　　　在圆中求最值是中考的常见题型也是中考中的热点、难点问题有的学生对求最值问题感到束手无策主要原因就是对求最值的方法了解不多思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法归纳如下：　　一、利用对称求最值　　1．如图：⊙O的半径为2点A、B、C在⊙O上OA⊥OB∠AOC=60°P是OB上一动点求PA+PC的最小值.　　[分析]：延长AO交⊙O于D

2、连接CD交⊙O于P即此时PA+PC最小且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.　　解：延长AO交⊙O于D连接CD交OB于P　　连接PA过O作OE⊥CD垂足为E　　在△OCD中因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°　　在Rt△ODE中cos30°=　　即DE=2×cos30°=所以CD=2DE=2　　即PA+PC的最小值为2.　　二、利用垂线段最短求最值　　2．如图：在直角坐标系中点A的坐标为(－3,－2)⊙A的半径为1P为x轴上一动点PQ切⊙A于点Q则PQ长度的最小值为.　　[分析]：连接AQ、PA可知AQ⊥PQ.在Rt△PQ

3、A中PQ=求PQ的最小值转化为求PA的最小值根据垂线段最短易求PA的最小值为2.　　解：连接PA、QA　　因为PQ切⊙A于点Q所以PQ⊥AQ　　在Rt△APQ中PQ2=PA2－AQ2　　即PQ=　　又因为A(－3,－2)根据垂线段最短　　所以PA的最小值为2　　所以PQ的最小值=　　三、利用两点之间线段最短求最值　　3．如图：圆锥的底面半径为2母线PB的长为6D为PB的中点一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行到点D则蚂蚁爬行的最短路程为()　　A．B．2C．3D．3　　　　　　　　　　　　[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬

4、行到点D不好求爬行的最小值要把立体图形展开为平面图形再利用两点之间线段最短来解决问题.　　解：圆锥的侧面展开图如图2连接AB　　根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4πPA=6　　因为4π=所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB　　所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PBPD=DB=3　　在Rt△PAD中AD=故选C.　　四、利用直径是圆中最长的弦求最值　　4．如图：半径为2.5的⊙O中直径AB的两侧有定点C和动点P已知BC：CA=4：3点P在劣弧AB上运动过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q

5、当点P运动到什么位置时CQ取得最大值并求出此时CQ的长.　　[分析]：易证明△ACB∽△PCQ所以即CQ=PC.当PC最大时CQ最大而PC是⊙O的动弦当PC是⊙O的直径时最大.　　　　解：因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°　　因为PC⊥CQ所以∠ACB=∠PCQ=90°　　又因为∠A=∠P所以△ACB∽△PCQ　　所以所以CQ=CP　　因为CP是⊙O的动弦最大值为⊙O的直径　　所以CP的最大值为5　　此时当点P运动到CP为⊙O的直径时　　CQ的最大值为×5=　　五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值　　5．如图：已知⊙O的半

6、径为2弦BC的长为2点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)求△ABC面积的最大值.　　[分析]：设BC边上的高为h　　因为S△ABC=BCh=×2h=h　　当h最大时S△ABC最大当点A在优弧的中点时h最大.　　解：当点A为优弧的中点时作AD⊥BC于D　　连接BO即BD=CD=　　在Rt△BDO中OD2=OB2－BD2=22－()2=1　　所以OD=1所以AD=2+1=3　　所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3　　即△ABC面积的最大值为3　　六、利用周长一定时圆的面积最大求最值　　6．用48米长的篱笆材料在空地

7、上围成一个绿化场地现有两种方案：一种是围成正方形的场地另一种是围成圆形场地试问选用哪一种方案围成的场地面积较大？并说明理由.　　[分析]：周长一定的几何图形圆的面积最大.　　解：围成圆形场地的面积较大　　设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积　　则S1=()2=144S2=π·()2=　　因为π＜4所以＞　　所以＞=144所以S2＞S1所以应选用围成圆形场地的方案面积较大　　七、利用判别式求最值　　7．如图：在半径为1的⊙O中AB是弦OM⊥AB垂足为M求OM+AB的最大值.　　[分析]：可设AM=x把OM用x的代数

8、式表示出来构造关于x的一元二次方程然后利用判别式来求最值.　　解：设AM=x在Rt△OAM中　　OM=　　所以OM+AB=+2x=a　　整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0　　因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0　　即a2≤5所以a≤　　所以OM+