初中数学几类最值求法.doc

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1、初中数学中几类最值求法初中数学中有许多求最值的问题，其基本的思路和方法大致有以下三种。一、一次函数与二次函数求最值一般来说一次函数,对自变量的取值范围没有限制，它不存在最值，若限制自变量的取值范围为，当时，取最小(大)值，时取最大(小)值。对于二次函数,当,时在其顶点取最小(大)值,这类习题在教材中很多，这里不再举例赘述。二、利用不等式“或，此两不等式当且仅当时取等号”求最值。此两不等式的证明可由和展开移项而得。例1：如图,,则四边形ABCD的面积最小值为___。ABCDOS2S1解：,因为,所以因为所以例2：如图是一架不等臂天

2、平，第一次在左侧放质量为克的物体，右侧放火50克法码，第二次在左侧放质量为50克的物体，右侧放克法码，则（）(A)不小于100克(B)大于100克(C)不小于150克(D)大于150克BABOm50AO50解：设，,由平衡原理可得,,即,∵,,所以选（B）不等式“，在求最小值时非常有用，但是要注意等号成立的条件,例如本题中由于，所以取值大于100，而不能取等号，这一点要特别注意。例3：矩形ＡBCD的周长为定值,过AB两点作⊙o，并使⊙o与CD相切于H点，AD（1）求⊙o的半径与之间的关系.（2）当取何值时，取最小值,最小值为多少

3、？ABCDoEG解：（1）如图连OH，并延长HO交AB于G，作OE⊥AD，连AOH∵CD是⊙O切线∴OH=,OH⊥CD∵AB∥CD∴OG⊥AB,AG=AB∵AD=∴ＡE＝，AB==。在Rt△AEO中,AO=,AE=，OE=AG=由勾股定理可得整理可得：。(2)在与的函数关系中是定值，当取最小值时，取最小值时，设由不等式可得≥=，当且仅当,即时,。三、利用三角函数的有界性求最值当时,,,当时，;当时，，为此需要建立以角为变量的函数关系。例4：如图AB是半⊙O的直径，定长为的弦CD的两端C、D在半圆上滑动，过C作CE⊥AB，垂足为E

4、，过D作DF⊥AB，垂足为F，M为CD的中点。（1）判定△MEF的形状，并证明你的结论。D（2）设半⊙O的半径为，当CD处在何位置时△MEF的面积最大，最大ABEHOFGCM值为多少？解：（1）△MEF是等腰三角形略证：作MH⊥EF，由题设可得CE∥DF∥MH，CM=DM∴EH=FH∴MH是EF的垂直平分线，∴EM=FM。(2）连OM，则OM⊥CD,易知∠CDF+∠DCE=,∠MOE+∠DCE=则∠CDF=∠MOH,设∠CDF=∠MOH=连OC，作CG⊥DF，∵M是CD的中点,由垂径定理可知OM⊥CD，在Rt△MOC中，在Rt△

5、CDG中，∴.，由三角函数的有界性可知,当时，故的最大值为，此时.