初中数学几类最值求法 .pdf

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1、初中数学中几类最值求法初中数学中有许多求最值的问题，其基本的思路和方法大致有以下三种。一、一次函数与二次函数求最值一般来说一次函数ykxb(k0),对自变量x的取值范围没有限制，它不存在最值，若限制自变量的取值范围为xxx，当k0(k0)时，xx取最小(大)值，xx时取最大(小)1212b值。对于二次函数yax2bxc(a0),当a0(a0),x时在其顶点取最小(大)值,这2a类习题在教材中很多，这里不再举例赘述。二、利用不等式“a2b22ab或ab2ab，此两不等式当且仅当ab时取等号”求最值。此两不等式的证明可由(ab

2、)20和(ab)20展开移项而得。例1：如图S4,S9,则四边形ABCD的面积最小值为___。AOBCOD解：SS,SSAOD1COD2ADS1SOBS因为VAOB2,OSODS1VCODS2BC所以SSSS493612AOBCODSSSSS49SS四边形ABCDAOBCOD1212因为SS2SS26121212所以S491225四边形ABCD例2：如图是一架不等臂天平，第一次在左侧放质量为m克的物体，右侧放火50克法码，第二次在左侧放质量为50克的物体，右侧放m克法码，则mm（）

3、(A)不小于100克(B)大于100克(C)不小于150克(D)大于150克50mm50OOBABA解：设AOlBOl由平衡原理可得1，2,50l50lml50l,50lml即m2,m11212,ll1250l50l50l50l50l50l∵21,mm2122l100,所以选（B）llllll121212不等式“ab2ab，在求最小值时非常有用，但是要注意等号成立的条件,例如本题中由于ll，所以mm取值大于100，而不能取等号，这一点要特别注意。12例3：矩形ＡBCD的周长为定值2l,过AB两点作⊙o，并使⊙o与CD

4、相切于H点，ADx（1）求⊙o的半径r与x之间的关系.（2）当x取何值时，r取最小值,最小值为多少？解：（1）如图连OH，并延长HO交AB于G，ADE作OE⊥AD，连AO∵CD是⊙O切线∴OH=r,OH⊥CDHGo1∵AB∥CD∴OG⊥AB,AG=AB2BC2l2x∵AD=x∴ＡE＝xr，AB==lx。2lx在Rt△AEO中,AO=r,AE=xr，OE=AG=2lx5l2l由勾股定理可得r2(xr)2()2整理可得：rx。288x4l5l2(2)在r与x的函数关系中是定值，当x取最小值时，r取最小值时，488x5l25l25xl25设r

5、x由不等式ab2ab可得rx≥2=l，88x88x88x45l2551当且仅当x,即xl时,rl。88x5最小值4三、利用三角函数的有界性求最值当0o90o时,0sin1,0sin21,当0时sin0，sin20;当90o时sin1，sin21，为此需要建立以角为变量的函数关系。例4：如图AB是半⊙O的直径，定长为2a的弦CD的两端C、D在半圆上滑动，过C作CE⊥AB，垂足为E，过D作DF⊥AB，垂足为F，M为CD的中点。（1）判定△MEF的形状，并证明你的结论。（2）设半⊙O的半径为r，当CD处在何位

6、置时△MEF的面积最大，最大值为多少？MD解：（1）△MEF是等腰三角形CG略证：作MH⊥EF，由题设可得CE∥DF∥MH，CM=DM∴EH=FHAB∴MH是EF的垂直平分线，∴EM=FM。EHOF(2）连OM，则OM⊥CD,易知∠CDF+∠DCE=180,∠MOE+∠DCE=180则∠CDF=∠MOH,设∠CDF=∠MOH=连OC，作CG⊥DF，∵M是CD的中点,由垂径定理可知OM⊥CD，在Rt△MOC中MHOMsinr2a2sin，在Rt△CDG中CG2asin，∴EF2asin.11SEFMH2asinr2a2sinar

7、2a2sin2，由三角函数的有界性VMEF22可知sin21,当90o时sin21，故S的最大值为ar2a2，此时CDPAB.VMEF