第二节 换元法.ppt

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1、二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)例1.求解:令则故原式=注:当时例2.求解:令则想到公式例3.求想到解:(直接配元)例4.求解:类似例5.求解:∴原式=常用的几种配元形式:万能凑幂法例6.求解:原式=例7.求解:原式=例8.求解:原式=例9.求解法1解法2两法结果一样例10.求解法1解法2同样可证或例11.求解:原式=例12.求解:例13.求解:∴原式=例14.求解:原式=分析:例15.求解:原式小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次

2、:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.求提示:法1法2法3二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式例16.求解:令则∴原式例17.求解:令则∴原式Temp例18.求解:令则∴原式令于是说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或三角代换外,还可利用公式原式例19.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.小结:1.第二类换

3、元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲2.常用基本积分公式的补充(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令解:原式例20.求例21.求解:例22.求解:原式=例23.求解:原式例24.求解:令得原式例25.求解:原式令思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令2.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)备用题1.求下列积分:2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得分子分母同除以3.求不定积分解:令原式