《类换元法》PPT课件(I)

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1、二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法第四章一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式例16.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例17.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束例18.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束令于是机动目录上

2、页下页返回结束（1）被积函数含有时,可以采用或机动目录上页下页返回结束三角代换,消去根式、积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明：例19求（三角代换很繁琐）（2）设分子、分母关于x的最高次数,当分母的阶较高时，可采用倒代换：例20求令解例21求解令令令（3）被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束令例11.求解:令则原式机动目录上页下页返回结束例12.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令机动目录上页下页返回结束例13.求解:令则原式机动目录上页下页返回结束例14

3、求（4）如果被积函数是由指数构成的代数式，可考虑选用指数代换小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令机动目录上页下页返回结束有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动目录上页下页返回结束例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动目录上页下页返回结束(2)用赋值法故机动目录上页下页返回结束(3)混合法机动目录上页下页返回结束原式=四种典型部分分式的积分:机动目录上页下页返回结束变分子

4、为再分项积分例2.求解:已知例1(3)目录上页下页返回结束例3.求解:原式思考:如何求机动目录上页下页返回结束提示:变形方法同例3,并利用P209例9.例4.求解:机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例5.求解:原式机动目录上页下页返回结束常规目录上页下页返回结束例6.求解:原式(见P348公式21)注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!机动目录上页下页返回结束二、可化为有理函数的积分举例

5、设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束1.三角函数有理式的积分则例7.求解:令则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例8.求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动目录上页下页返回结束例9.求解法1令原式机动目录上页下页返回结束例9.求解法2令原式机动目录上页下页返回结束例10.求解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令原式机动目录上页下页返回结束