换元法论文换元法注解论文

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1、换元法论文换元法注解论文关于换元法的一点注解摘要：本文讨论了不定积分两种换元法的同一性和差异性。通过对比它们的同一性和差异性，给出了教与学过程中需要注意的一些细节，以便高效、准确地把握换元法的思想和解题技巧。关键词：凑微分法第二换元法同-性差异性一、换元法的介绍不定积分的求解主要依赖于两种积分方法——换元法和分部积分法，换元法乂包括第•换元法(凑微分法)和第二换元法两种，这些内容在众多关于微积分的教材文献中都会作介绍。在目前使用最广泛的同济版《高等数学》教材上，关于换元法有如下定理。定理1[1]：设f(u)具有原函数F(u),u=(x)可导，那么F((X))是f((x))'(x)的原

2、函数，即有换元公式：Jf((u))'(u)du=F((u))+C=(ff(u)du)u=(x)(1)定理2[1]：设函数心屮(t)是单调的、可导的函数，并且W(t)#0o又设f((t))'(t)具有原函数①(t),则①(屮(x))是彳(x)的原函数(其中屮(X)是灼屮(t)的反函数)，即有换元公式：Jf(x)dx=(D(T-1(x))+C=(Jf(T(t))屮'(t)dt)t=T(2)它们分别给出了凑微分法和第二换元法的使用方法。二、两种换元法的同一性首先，我们稍作注意，就会发现一个很重要的结论：两种换元法本质上采用的是同一个公式。Jf((u))'(u)du=ff(x)dx(3)其中

3、凑微分法是将公式从左向右使用，而第二换元法则是从右向左使用。另一方面，进一步思考，我们发现，凑微分法和换元法虽然采用的同-•个公式，并且使用方式完全相反，但是基本思想却是统一的，即为了将被积函数尽可能变得简单，以便使用积分公式求出最终的原函数。三、两种换元法的不同1＞凑微分法的特点第…，凑微分法使用公式(3)是从左向右进行变换，这种变换方式比较易于理解，也较容易使学生掌握其本质方法。第二，凑微分法的关键部分在于准确找到凑微分的对象。因此，在这里介绍时只要学生正确把握复合函数的结构，凑微分就比较容易求解。2、第二换元法的特点第二换元法是反向使用公式(3),此处关键的步骤在于“置身事外雹

4、虽然两种换元法都是为了将被积函数化简单，但是第二换元法本身的应用不是拘泥于函数本身的化简，而是从“旁观者"的角度来理解简单。即对于被积函数中比较复杂而不容易化简的部分，尽可能“消灭”它，采用各种方法将这部分变得简单，而不是■•定要拘泥于公式中那样去找复合结构。四、讲授比较首先，由于换元法的根本是复合函数的微分运算规则，在学习这部分内容时如果学生对复合函数能比较熟悉，则学习过程会简单很多。这一点从笔者在多次讲授时从复合函数引入换元法基本公式（3）的效果感觉非常明显。其次，凑微分法的关键步骤在于找到需要凑出来的微分部分，在这部分学习吋以公式（3）作为出发点，着重理解复合函数结构，将会起到

5、事半功倍的效果。第三，由于第二换元法较凑微分法要复杂，因此，第二换元法（尤其是三角函数换元）的学习是初次学习的难点。这里需要让学生“部分地”撇开公式（3）,认清换元的目的，则学习时将会更加有目的性，掌握起來也要容易得多。参考文献[1]同济大学数学教研室，高等数学（第二版）（上册），北京：高等教育出版社，1982.5。[2]候风波，应用数学（理工类），北京：科学出版社，2007.9o[3]陶筱平等，应用高等数学，北京：北京工业大学出版社，2010.8o[4]吴良大，高等数学教程，北京：清华大学出版社，2007.7。[1]萧树铁扈志明，微积分（上）（修订版），北京：清华大学出版社，200

6、8.4o