学案 换元法,放缩法

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1、数学选修4-5编写：龚莉1.4不等式的证明(2)——放缩法班级姓名【学习目标】理解：初步掌握放缩法的概念；理解放缩法证题的基本方法；掌握：掌握放缩法证题的基本方法；应用：培养学生用放缩法简单推理的技能.【重点难点】重点：1.理解放缩法的推理依据.2.掌握放缩法证明命题的方法.难点：理解放缩法的推理依据及方法.【自主检测】1．当时，求证：．2．（1）化简：；（2）求证：..【知识点拔】1．放缩法定义：即：要证明不等式A

2、方法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：，，②将分子或分母放大（或缩小）如：③真分数的性质：“若，，则”（糖水不等式）④利用基本不等式，如：；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：≤；≥；⑦利用常用结论：Ⅰ、，Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）⑧绝对值不等式：≤≤；【经典体验】所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时

3、的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证。例2.已知a、b、c不全为零，求证：二.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：。三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求。例5.已知且，求证：对所有正整

4、数n都成立。四.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6.已知函数，证明：对于且都有。例7.已知，求证：当时。五.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8.已知，求证。例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有，当且时，求证：。六.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证。，【自主探究】1．当n>2时，求证：2．求证：【课堂反馈】1．若a,b,c,dÎR+，求证：2．若是自然数，求证3．求证：数学选修4-5编写

5、：龚莉1．4不等式的证明（2）（放缩法）课时练习1．设，，则的大小关系是（）A.B.C.D.2．已知三角形的三边长分别为，设，则与的大小关系是（）A.B.C.D.3．设不等的两个正数满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.4．设，则与1的大小关系是.5．设，则的整数部分为.6．已知均为正数，且，求证：.7．设，求证：.8．设，求证：.9．设，求证：.10．，求证：不等式对所有的正整数都成立.【自助餐】1：设、、是三角形的边长，求证≥32．已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有