2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.5增长速度的比较学案新人教B版.docx

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1、4．5　增长速度的比较考点学习目标核心素养平均变化率了解平均变化率描述增长速度的概念数学抽象模型增长差异了解在实际生活中不同增长规律的函数模型数学建模问题导学预习教材P38－P40的内容，思考以下问题：1．平均变化率是如何定义的？2．如何用平均变化率描述增长速度？3．线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？1．平均变化率我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)上的平均变化率为＝.也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化

2、率来比较函数值变化的快慢．2．几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型一次函数模型y＝kx(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大其函数值的增长速度就越快．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模

3、型是一次函数模型．(　　)(2)对任意的x＞0，kx＞logax.(　　)(3)对任意的x＞0，ax＞logax.(　　)(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)A．y＝ex　　　　　　　　　B．y＝lnxC．y＝3xD．y＝e－x答案：A函数f(x)＝从0到2的平均变化率为(　　)A.B．1C．0D．2解析：选A.由题意可知，函数f(x)＝从0到2的平均变化率为＝，故选A.平均变化率的比较　(1)在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四

4、个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是(　　)A．④　　　　　　　　　　　B．③C．②D．①(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．【解析】　(1)Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4，故应

5、选B.(2)v1＝＝kOA，v2＝＝kAB，v3＝＝kBC，又因为kBC＞kAB＞kOA，所以v3＞v2＞v1.【答案】　(1)B　(2)v3＞v2＞v1求平均变化率的主要步骤(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)求Δx＝x2－x1.(3)求平均变化率＝.　1．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)A．k1＜k2B．k1＞k2C．k1＝k2D．无法确定解析：选D.k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定，选D.2.如图显

6、示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；②在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率；③在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；④在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率．解析：由图像知，0～t0范围：v甲＝v乙＝；t0～t1范围：v甲＝，v乙＝.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以v甲＞v乙．所以③正确．答案：③函数模型增长差异的比较　甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的

7、函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．【答案】　③④⑤常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2