2、函数增长(1)指数增长:①性质:当a>1时,指数函数f(x)=ax,当自变量每增加1个单位时,随着自变量的增大,f(x)=ax的函数值增长的越来越快;②定义:类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长).(2)线性增长:类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长).【思考】指数增长和线性增长中增长速度哪一个大?提示:指数增长.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若f(x)=5x+2,自变量每增加1个单位,函数值将增加2个单位.()(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.()(3)指数函数f(x)=ax(a>0
3、且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.()提示:(1)×.自变量每增加1个单位,函数值将增加5个单位.(2)√.线性增长的增长速度是不变的.(3)×.当a>1时,指数增长速度比线性增长速度大.2.四个人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A.f1(x)=x2B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x【解析】选D.显然四个函数中,指数函数是增长
4、最快的.故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x.3.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法:①前5min温度增加的速度越来越快;②前5min温度增加的速度越来越慢;③5min以后温度保持匀速增加;④5min以后温度保持不变.其中正确的说法是________.(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图像是先凸后平,即5min前每当t增加一个单位增量,则y相应的增量越来越小,而5min后是y关于t的增量保持为0,则②④正确.答案:②④4.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=3x2在[2,
5、6]内的平均变化率为________.【解析】f(6)=108,f(2)=12,所以平均变化率为=24.答案:24关键能力·合作学习类型一 比较函数值增加的快慢(数学运算)【题组训练】1.y=2x+1在[1,2]内的平均变化率为()A.0B.1C.2D.32.函数f(x)=x2++4在区间[1,2]上的平均变化率为________.【解析】1.选C.当x=1时,y=3,当x=2时,y=5,故平均变化率为=2.2.f(x)在[1,2]上的平均变化率为答案:【解题策略】平均变化率的求解步骤(1)确定区间[x1,x2](x16、)求出Δy=y2-y1.(4)求出平均变化率【补偿训练】已知函数y=x2-2x-3.(1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率,分析当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律;(2)记A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),判定直线AB与直线BC斜率的相对大小.【解析】(1)=x2+x1-2,所以在区间[1,2]上的平均变化率为1,在区间[3,4]上的平均变化率为5,所以自变量每增加1个单位,区间长不变的条件下,端点之和越大,函数值增加越快.(2)直线AB的斜率为1,直线CD的斜率为5,直线AB的斜率小
7、于直线CD的斜率.类型二 平均变化率的大小比较(数学运算)【典例】已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较这三个函数在区间(a>1)上的平均变化率的大小.【思路导引】计算平均变化率,再利用指数与对数函数的性质比较大小.【解析】因为=2×3a,又因为a>1,所以2×3a>2×31=6,log38、一个中间值进行比较,以确定平均变化率的
