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《2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系课件新人教B版必修第二册20210315266.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.3指数函数与对数函数的关系必备知识·自主学习1.反函数的定义(1)定义:如果在函数y=f(x)中,给定值域中______________,只有________与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.(2)记法:y=f-1(x).任意一个y的值唯一的x【思考】函数f(x)=x2有反函数吗?为什么?提示:没有.若令y=f(x)=1,则x=±1,即x值不唯一,不符合反函数的定义.2.反函数的求法对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到.【思考】什么样的函数一定有反函数?提示:单调函数.3.函数与其反函数的性质的关系(1)图像:关于直线y=x对称
2、;(2)定义域、值域:原函数的_______与其反函数的_____相同;原函数的_____与其反函数的_______相同.(3)单调性:原函数与其反函数的单调性_____.注意:同底的指数函数与对数函数的关系定义域值域值域定义域相同①同底的指数函数与对数函数互为反函数,图像关于直线y=x对称.②指数函数与对数函数的关系如表:【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)一次函数y=kx+b(k≠0)一定有反函数.()(2)反比例函数y=(x≠0)一定有反函数.()(3)点(1,0)一定在指数函数y=ax反函数的图像上.()提示:(1)√.一次函数y=kx+b(k≠0)
3、一定是单调函数,因此一定有反函数.(2)√.对应值域中的任意一个y,x=是唯一的,符合反函数的定义.(3)√.指数函数y=ax的反函数是对数函数,对数函数一定过点(1,0).2.函数y=log3x的反函数是()A.y=-log3xB.y=3-xC.y=3xD.y=-3x【解析】选C.因为函数y=log3x,x>0,所以x=3y;交换x,y的位置,得y=3x,所以函数y=log3x的反函数是y=3x.3.若函数f(x)=2x的反函数为f-1(x),则f-1(1)=________.【解析】令2x=1,则x=0,所以f-1(1)=0.答案:04.(教材二次开发:例题改编)已知函数f(x
4、)=x2+1(x≥1)的反函数是f-1(x),则f-1=________.【解析】令y=x2+1(y≥2),交换x,y的位置,得x=y2+1,解得y=,所以f-1(x)=(x≥2),所以f-1==3.答案:3关键能力·合作学习类型一 判断函数是否有反函数(逻辑推理)【题组训练】1.下列函数中,存在反函数的是()2.判断下列函数是否有反函数.(1)f(x)=;(2)g(x)=x2-2x.【解析】1.选D.对A,因为f(x)=1时,x为任意的正实数,即对应的x不唯一,因此f(x)的反函数不存在;对B,因为g(x)=1时,x为任意的有理数,即对应的x不唯一,因此g(x)的反函数不存在;对
5、C,因为h(x)=2时,x=2或x=5,即对应的x不唯一,因此h(x)的反函数不存在;对D,因为l(x)的值域中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此l(x)的反函数存在.2.(1)令y=f(x),因为y=,是由反比例函数y=向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,在(-∞,1),(1,+∞)上都是减函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x与之对应,所以f(x)存在反函数.(2)令g(x)=3,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,即对应的x不唯一,因此g(x)的反函数不存在.【解题策略】判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值,如果都是唯
6、一的,则函数的反函数存在.(2)确定函数在定义域上的单调性,如果函数是单调函数,则函数的反函数存在.(3)利用原函数的解析式,解出自变量x,如果x是唯一的,则函数的反函数存在.【补偿训练】判断下列函数是否存在反函数.(1)y=-2.(2)y=-2x2+4x,x∈(1,+∞).【解析】(1)y=-2是由函数y=向左平移1个单位,向下平移2个单位得到,在(-∞,-1),(-1,+∞)上是减函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x值与之对应,所以函数存在反函数.(2)y=-2x2+4x=-2(x-1)2+2,对称轴为x=1,在(1,+∞)上是减函数,因此任意给定值域中的一个值,只有
7、唯一的x值与之对应,所以函数存在反函数.类型二 求函数的反函数(数学抽象、数学运算)【典例】求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=5x+1.【思路导引】按照求反函数的基本步骤求解即可.【解析】(1)由y=得y>0,对调其中的x和y,得x=,解得y=lox,所以f-1(x)=lox(x>0).(2)对调x与y得x=5y+1(x∈R),化简得y=,所以f-1(x)=(x∈R).【解题策略】反函数的求法(1)先确定原函数的值域,即反函数的定义域.(2)对调原函数解析式中
