2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系学案新人教B版.docx

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1、4．3　指数函数与对数函数的关系考点学习目标核心素养反函数了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系数学抽象指数、对数函数的图像与性质的应用利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题数学抽象、数学运算问题导学预习教材P30－P31的内容，思考以下问题：1．反函数是如何定义的？2．互为反函数的函数有哪些性质？1．一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．2．一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).y＝f(x)的定义域与y＝f－

2、1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．3．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数一定存在．如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝的反函数是y＝logx.(　　)(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　)(3)函数y＝ex的图像与y＝lgx的图像关于直线y＝x对称．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×函数f(x)＝的反函数为g(x)，那

3、么g(x)的图像一定过点________．解析：f(x)＝的反函数为g(x)＝logx，所以g(x)的图像一定过点(1，0)．答案：(1，0)函数y＝x＋3的反函数为________．解析：由y＝x＋3得x＝y－3，x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3.(x∈R)．答案：y＝x－3(x∈R)求反函数　写出下列函数的反函数：(1)y＝lgx；(2)y＝5x＋1；(3)y＝()x；(4)y＝x2(x≤0)．【解】　(1)y＝lgx的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x.(2)由y＝5x＋1，得x＝，所以反函数为y＝(x∈R)．(3)y＝()x的底数

4、为，它的反函数为对数函数y＝logx(x＞0)．(4)由y＝x2得x＝±.因为x≤0，所以x＝－.所以反函数为y＝－(x≥0)．求反函数的一般步骤(1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围．(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．(3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域．　　函数y＝＋1(x≥1)的反函数是(　　)A．y＝x2－2x＋2(x<1)B．y＝x2－2x＋2(x≥1)C．y＝x2－2x(x<1)D．y＝x2－2x(x≥1)解析：选B.由y＝＋1，得x＝(y－1)2＋1，即x

5、＝y2－2y＋2，因为x≥1，所以y＝＋1≥1，所以反函数为y＝x2－2x＋2(x≥1)．互为反函数的性质应用　已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，0)，求a，b的值．【解】　因为y＝ax＋b的图像过点(1，4)，所以a＋b＝4.①又因为y＝ax＋b的反函数图像过点(2，0)，所以点(0，2)在原函数y＝ax＋b的图像上．所以a0＋b＝2.②联立①②得a＝3，b＝1.互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f

6、(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．　　已知f(x)＝log3x，则f－1(4)＝________．解析：由log3x＝4，得x＝34＝81.即f－1(4)＝34＝81.答案：81指数、对数函数图像与性质的应用　设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．【解】　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的

7、图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．而A、B都在直线y＝－x＋3上，所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.形如ax＋kx＝b(a＞0且a≠0)或logax＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题．　　函数f(x)＝lgx＋x－3的零点所在区间为(　　)A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，＋∞)解析：选C.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与