2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.4幂函数学案新人教B版.docx

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1、4．4　幂函数考点学习目标核心素养幂函数的概念了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式数学抽象幂函数的性质结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，掌握它们的性质数学运算幂函数性质的应用能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小数学运算问题导学预习教材P33－P36的内容，思考以下问题：1．幂函数是如何定义的？2．幂函数的解析式具有什么特点？3．常见幂函数的图像是什么？它具有哪些性质？1．一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．■名师点拨幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．幂函数的图像与性质(1)五个常见

2、幂函数的图像(2)五个常见幂函数的性质：函数性质　　y＝xy＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域R[0，＋∞)RR(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)(0，＋∞)R(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性R上增[0，＋∞)上增(－∞，0)上减[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上减(0，＋∞)上减公共点(1，1)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x－是幂函数．(　　)(2)函数y＝2－x是幂函数．(　　)(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×下列所给

3、函数中，是幂函数的是(　　)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝xD．y＝x2－1解析：选C.幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是(　　)A．y＝x3B．y＝x2C．y＝D．y＝x解析：选A.结合函数图像，易知y＝x3在(－∞，0)上为增函数，故选A.已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)＝________．解析：设f(x)＝xα，所以α＝，所以f(4)＝4＝2.答案：2幂函数的概念　函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f

4、(x)的解析式．【解】　根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．所以f(x)的解析式为f(x)＝x3.(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻．(2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．　　已知幂函数f(x

5、)＝xα的图像经过点(9，3)，则f(100)＝________．解析：由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，所以α＝，所以f(x)＝x，所以f(100)＝100＝10.答案：10幂函数的图像　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为(　　)A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2，2，D．2，，－2，－【解析】　考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时看

6、n

7、的大小．根据幂函数y＝xn的性质，

8、故c1的n＝2，c2的n＝，当n＜0时，

9、n

10、越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝－，曲线c4的n＝－2，故选B.【答案】　B幂函数图像的特征(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α＞0时，幂函数的图像都经过(0，0)和(1，1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图像都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线下凸．　　如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，

11、则(　　)A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1解析：选B.在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图像有交点，如图所示．根据点低指数大，所以0＜m＜1，n＜－1.比较幂的大小　比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)与；(3)0.25－与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.【解】　(1)因为y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且＞，所以＞.(2)因为y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－＜－，所以＞.(3)0.25－＝＝2，6.25＝2.5，因为y＝x是[0

12、，＋∞)上的增函数，且2＜2.5，所以2＜2.5，即0.25－＜6.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，又y＝0.3x是减函数，所以0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.(1)比较幂值的大