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1、高一数学同步辅导教材（第2讲）一、本讲教学进度1．3（P10-13）二、本讲教学内容1．交集2．并集三、重点，难点选讲1．交集（1）交集的定义由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，同符号“AB”表示，实际上“AB”是由所有集合A和集合B的公共元素所组成的集合，用集合的方法，可以表示为：AB=AB也可以用韦恩图中的阴影部分表示如下：（2）交集的性质（3）交集的定义、集合相等的定义和补集的定义，很容易证明：AA=A，A=，AB=BA，(AB)C=A(BC),A(SA)=.对A=证明如下：假设存在元素则由交集定义，得与空集中的定义矛盾，所以集合A中不存在
2、任何元素，即A=此外，还容易证明AB=B与B等价，这个结论在解题时会用到.（3）交集与方程组，不等式组求方程组的解集，即求方程组中每一个方程的解集的交集，求不等式组的解集，即求不等式组中每一个不等式的解集的交集。例1．已知集合A=，B=求AB.解：若∴，令则∴例2．已知，求实数的值.解∵∴∴例3已知集合M=,求实数a的的值.解∵，∴若这时若这时不符合集合中元素的互异性。若这时M=∴例4已知A=,求实数P的数值范围.解：由（1）若（2）若此时应要求方程，没有正根.如方程有一零根，—负根.则，则，∴由（1），（2）知2并集（1）并集的定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集
3、合，叫做集合A与B的并集，用符号“表示，实际上“”是由集合A和集合B中所有元素组成的集合，但集合A与集合B中的公共元素在中只能出现一次。用集合的写法，可以表示为.应注意：这里“”中“或”的意义包含三种情况：①②③：（2）并集的性质由并集的定义、集合相等的定义及补集的定义，很容易证明：A)=S.由交集和并集的定义，也容易证明：此外，还容易证明：（3）并集与方程方程的解集的并集。例5．已知平面上的点集并说明它们的几何意义。解：实际上直线互相平行，例6．已知集合.解：∵∴∴.∴∵∴∵∴∴方程∴∴例7．（1）已知全集(（（2）已知全集：（），解：（1）（（2）（评价（1）由第（1）题可
4、见，有一般地，该等式对任意的集合、A、B都能成立，并可以用韦恩图验证.（2）由第（2）题可见，有(,一般地,该等式对任意的集合,A,B,也成立,并可以用韦恩图验证.(3)上述两个公式也叫集合运算的摩根律,集运算还有分配律:(也可以用韦恩图验证.例8．已知集合=，求实数b,c,m的值.解：∵∴∴∴∵∴又∵∴∴∴例9．已知全集（,求A，B.解：∵∴∴1，2∵（∴由此知1，2，4，5∵∴。即∴评析：本题也可用韦恩图，并根据已知条件，逐步写出集合中的元素，从而求得集合A和B.例10．若用n(A)表示有限集A的元素个数。（1）已知n(A)=20，n(B)=15,n(AB)=28,求n(A
5、B);(2)已知n()=4,n()=18,n(A)=10,求n(B).解：（1）设n()=x,画出韦恩图.由图及n(A)=20,n(B)=15,知左边一块应填上20-x,右边一块应填上15-x.∵n,∴(20-x)+x+(15-x)=28.∴x=7,即n=7.(2)设集合B中不属于A的元素有x个，画出韦恩图.由n=4,中间一块应填上4.由n(A)=10,左边一块应填上10-4=6.∵n=18,∴6+4+x=18,x=8.∴n(B)=4+8=12.评析：一般地，有n=n(A)+n(B)-n,可以用韦恩图验证此等式。在遇到具体问题时不必记这个式子，只要画出韦恩图，用上述例10的方法
6、，适当设未知数，并根据已知条件就可以求出结果.练习一选择题1．设集合A=则是（）A．（1，-1）B.C.D.2．设全集U==则（）A．P=B.P=（C．D.（3．已知集合，则的值为.（）A．B。C。D。.4．已知集合p=且PQ=，则实数a的取值范围为（）A．a=1B.ac.aD.a5.设全集U=R，集合的解集是（）.A．B.C.D.6.设全集为U，非空集合A，B满足ABU，则（）.A．AB=B.(A)B=C.A(B)=D.(A)(B)=二、填空题7．已知集合A=B=则AB=_________,AB=___________.8．满足AB=的集合A，B共有__________对.9
7、．已知全集U=R，集合A=B=则（A）（B）=________________.10．已知集合S=，AS，B=S，且A（B）=，（A）B=（AB）=则A=___________,B=_____________.三、解答题11．已知集合A=B=且AB=B，求实数a的取值范围。12．设全集M=集合A=B=求B，（AB）。13．设集合M=N=全集U=R，若MN，求实数a的取值范围.14．已知A=B=C=若AB=AC=C，求实数a的值.答案+提示[答案]一、1．D2.A3.B4.D5.B6.C二、7
