高一数学同步辅导教材(第5讲) (2).pdf

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1、高一数学同步辅导教材(第5讲)一,本讲教学进度2.3函数的单调性和奇偶性二,本讲教学内容1.函数的单调性2.函数的奇偶性三,重点,难点选讲重点,1.函数的单调性⑴函数的单调性是对于函数定义域内的某个区间而言的,即这个区间必定是函数定义区间的子区间.在一个函数的定义区间内,不同的子区间上函数可能有不同的单调性,因此,在谈某个函数的单调性时,必须同时说明相应的区间.在不提单调区间时,应认为函数在整个定义区间内有同一的单调性.函数的单调区间可能是开区间,可能是闭区间,也可能是半开半闭区间.⑵函数不一定有单调区间,如函数f(x)=又如函数f(x)=x1+1x的定义域为{},显然不存在单

2、调区间.11(x为有理数)1(x为无理数)也不存在单调区间。⑶判断函数的增减性,可以根据已研究过的函数的单调性,也可以根据函数单调性的定义.由定义判断函数y=f(x)在区间[a,b]上的单调性时,通常设a≤x1

3、见,函数y=f(x)的递增区间为[1,2]及[3,+∞],递减区间为评析⑴根据函数的图像观察函数的单调区间是一种直观的方法.⑵函数y=f(x)的递增区间不能写成[1,2]U[3,+∞).画出函数y=x+2+x1的图像,并根据图像写出函数的单调区432132112解由图像可知,函数的递增区间是[1,+∞),递减区间是(∞,2].在区间[2,1]上既非增高一数学同步辅导教材(第5讲)函数,也非减函数.例3求证:函数f(x)=1x3在定义域上是减函数.证函数y=f(x)的定义域为R,设x11)评析在区间[

4、2,1]上,y=3.对一切x1≤x2且x1,x2∈[2,1],都有f(x1)=f(x2),因此函数f(x1)f(x2)=1x1(1x2)=x2x1=(x2x1)(x2+x2x1+x1)211232x1)+x1]>0,24∴f(x1)f(x2)>0即f(x1)>f(x2),∴函数f(x)在(∞,+∞)上是减函数.=(x2x1)[(x2+评析证明函数在某个区间上的单调性通常都是根据函数增减性的定义去证明.例4求证:函数f(x)=x+证设0

5、x2x1x2x1x2∵00,∴f(x1)f(x2)>0f(x1)>f(x2)∴函数f(x)在(0,2]上递减(xx2)(x1x24).设2≤x10,x1x2>0,∴f(x1)f(x2)<0,f(x1)0时,一般地有f(x)=x+在区间(0,a]以

6、及[a,0)上是减函数,在区间x[a,+∞)以及(∞,a]上是增函数.f(x1)f(x2)=x1+例5求函数y=F(x)=82xx2的单调区间.分析求函数的单调区间之前,先要求出函数的定义域,单调区间必是定义区间的子区间.解∵82xx≥0,x+2x8≤0,∴4≤x≤2,函数F(x)的定义域为[4,2].22设y=f(u)=u,u=g(x)=82xx2.二次函数u=g(x)=(x+1)2+9的递增区间是(∞,1],递减区间是[1,+∞).∴函数y=f(u)=f[g(x)]=F(x)的单调递增区间是[4,1],单调减区间是[1,2]评析⑴对于二次函数等已研究过的函数,可以直接运用其

7、单调性结论.2⑵本题中y=u,u=82xx,即y是u的函数,u是x的函数,称y是x的复合函数,对于复合函数的单调性,其规律如下:函数单调性y=g(x)增增减减y=f(u)高一数学同步辅导教材(第5讲)增减增减y=f[g(x)]增减减增2.函数的奇偶性⑴函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.由定义知,如果函数f(x)是奇函数或偶函数,x若在函数定义域内,则x也一定在函数的定义域内,因此其定义域在数轴上表示的区间必然关于原点对称(简称"定义域关于原点对称").由此在判断函数是否具有奇偶性时,