第十七章 在无界区域上定义的函数.ppt

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1、第十七章在无界区域上定义的函数§1.无界集的测度知行130113275001毕文彬有界集的测度无界集的测度无界集测度的性质证明可测集外测度内测度有界闭集的测度有界开集的测度可测集的性质§1§4§5§2§3有界集有界集的测度§6定义1:区间(a,b)的测度，就是它的长b-a，记为m(a,b)=b-a显然总有m(a,b)>0定义2:设G是不空的有界开集，则其一切构成区间之长的和称为G的测度。即mG=∑mδk有界开集的测度定义3:设F是一不空的有界闭集，S=[A,B]是包含F的最小闭区间，则定义F的测度mF=B-A-m[CBF]有界闭集的测

2、度定义4:有界集E的内测度m*E是一切可能含在E中的闭集的测度的上确界，即m*E=sup{mF}内测度定义5:有界集E的外测度m*E是一切可能包含E的有界开集的测度的上确界，即m*E=inf{mG}外测度定义6:如果有界集E的外测度和内测度相等，则称E是一个可测集。这时E的外测度和内测度的数值就称作E的测度，记为mE：mE=m*E=m*E特别的，对于一切有界开集和有界闭集，其外测度和内测度均相等mF=m*F=m*FmG=m*G=m*G即，一切有界开集和有界闭集都是可测集可测集设S=(a,b)是基本集(有界)，E,Ei⊂S(i=1,2.

3、..)均为有界可测集，则有CSE=S-E,E1∩E2,E1∪E2,E1-E2,和∩Ei,∪Ei均可测，且1)mE≥0,且E=Φ时，mE=0(非负性)2)若E1⊂E2，则mE1≤mE2(单调性)m(E2-E1)=mE2-mE13)m(∪Ei)≤∑mEi(不完全可加性)4)若Ei∩Ej=Φ(i≠j,i,j=1,2,3...)，则m(∪Ei)=∑mEi(完全可加性)可测集的性质无界集的测度设集E含在(-∞,+∞)中，如果对于任意的自然数n，集E(n)=[-n,n]∩E为可测，则称E是可测集。极限称为这个集的测度。注：对于无界集，上述性质(非

4、负性，单调性，不完全可加性，完全可加性)同样成立。定理:设为可测集而E为其交集。如果，则无界集完全可加性的证明即证：（1）设E1，E2，E3...是两两不相交的可测集又那么从而及（2）无界集完全可加性的证明下证：由（1）式推得，对于所有有限的N有：令n→∞，得再令N→∞，得从而由（2）式得到