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1、复习:二次函数鞍山市第四十八中学王金忠二次函数定义注意:1.自变量的最高次数是2。2.二次项的系数a≠0。3.二次函数解析式必须是整式。解析式使用范围一般式已知任意三个点顶点式已知顶点(h,k)及另一点交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函数的三种解析式y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同。小结:
2、各种形式的二次函数的关系1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点和函数性质返回主页前进(1)是一条抛物线;(2)对称轴是:x=-(3)顶点坐标是:(-,)(4)开口方向:a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.2ab4a4ac-b22ab(1)a>0时,对称轴左侧(x<-),函数值y随x的增大而减小;对称轴右侧(x>-),函数值y随x的增大而增大。a<0时,对称轴左侧(x<-),函数值y随x的增大而增大;对称轴右侧(x>-),函数值y随x的增大而减小。(2)a>0时,ymin=a<0时
3、,ymax=2ab2ab2ab2ab4a4ac-b24a4ac-b2(二)函数性质:返回目录xy0a<0(1)a确定抛物线的开口方向:a、b、c、△、的符号与图像的关系a>0x0xy0(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:c>0x0•(0,c)c=0xy0•(0,0)c<0xy0•(0,c)(3)a、b确定对称轴的位置:xy0x=-b2aab>0x=-b2aab=0xy0x=-b2aab<0xy0x=-b2axy0•(x,0)xy0•(x1,0)•(x2,0)Δ>0Δ=0Δ<0(4)Δ确定抛物线与x轴的
4、交点个数:xy0•xy0•(x,0)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥01、抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c2、抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c思考:求抛物线Y=X2-2X-3关于X轴对称的抛物线的解析式,关于Y轴的抛物
5、线的解析式小结(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)小结(2)抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标是(X1,0)(X2,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2X1+X2=X1X2=题型分析:(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成的面积例1:填空:(1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐标是____________,与x轴的交点坐标是____________;(2)抛物线y=-2x
6、2+5x-3与y轴的交点坐标是____________,与x轴的交点坐标是____________.(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和(,0)23前进例2:已知抛物线y=x2-2x-8,(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。(1)证明:∵△=22-4×(-8)=36>0∴该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:∵抛物线与x轴相交时x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2
7、)=6而P点坐标是(1,-9)∴S△ABC=27xyABP前进xyOAxyOBxyOCxyOD例3:在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系答案:B前进例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。解:∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时,x=1∴顶点坐标为(1,2)∴设二次函数的解析式为y=
8、a(x-1)2+2又∵图象经过点(3,-6)∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即:y=-2x2+4x(三)根据函数性质求函数解析式前进例5:已知二次函数y=—x2+x-—(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。(2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C,A,B的坐标。(3)画出函数图象的示意图。(4)求ΔMAB的周长及面积。(5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大(小)值,