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1、导数在研究函数中的运用一、知识与方法1、函数的单调性：若函数y=/(兀)在区间(a,b)上单调递增，则广(x)no,反之等号不成立；若函数y=/(x)在区间(a,b)上单调递减，则/V)<0,反Z等号不成立。2、函数的极值：(1)定义：设函数/(兀)在点兀。附近有定义，如果对勺附近所有的点，都有/(x)/(x0),就说是/(勺)函数/(x)的一个极小值。记作y极小值=/(兀0)。极人值和极小值统称为极值。(2)求函数y=/(x)在某个区间上的极值的
2、步骤：(1)求导数广⑴；(ii)求方程fx)=0的根兀°；(ill)检查广(兀)在方程fx)=0的根兀。的左右的符号：“左正右负”O/(兀)在兀。处取极大值；“左负右正”o/(x)在兀0处取极小值。特别提醒：(1)兀0是极值点的充要条件是兀点两侧导数界号，而不仅是广(兀0)=°；广(兀0)=0是兀0为极值点的必要而不充分条件。(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑广(心)=0,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完，这一点一定要切记！3、函数的最大俏和最小值：(1)定义：函数/(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的
3、极大值与其端点值中的“最大值”；函数于(刃在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。(2)求函数)，=于(兀)在［d,b］上的最大值与最小值的步骤：(i)求函数y=于(兀)在(a,b)内的极值(极大值或极小值)；(ii)将y=/(x)的各极值少/(a),/(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。特别注意：(1)利用导数研究函数的最值(极值)，且方程fx)=0在给定的范围内有多个x值时，要注意列表！(2)要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。二、练习题
4、1.函^Lf(x)=x3+ax2+bx+cf当a2-3b<0时，/*(x)的单调性是2.函数/(兀)=疋-3/+1是减函数的区间为：()A.(2,+oo)B.(-oo,2)C.(-00,0)D.(0,2)3.函数/(X)=X3-处在
5、1,+00)±单调函数，贝IJ实数Q的取值范围4・在［d,b］上，/x)>0恒成立是函数y=f(x)单调递增的条件。5.函数/(兀)二x'+gx2+3x-9,已知于(兀)在兀=一3吋取彳鞭值，贝ijd二A.2B.3C.4D.56.函数y=(x2-l)3+l的极值点是()；A、极大值点x=-iB、极大值点x=0C、极小值点x=0D
6、、极小值点兀=17.函数/(%)=X34-ax2+(614-6)x+1有极大值和极小值，则。的取值范围是&两数y=2F_3/_i2兀+5在［0,3］上的最大值、最小值分别是9.方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数为_10.f(x)的导函数y=f(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是(ByD11.己知函数y=xfx)的图象如右图所示(其中fx)是函数/(x)的导函数),卜•血四个图象中y=/(x)的图象大致是:12.若/(x)=-丄x2+&ln(x+2)在(-l,+oo)上是减函数，则b的取值范围是2A.[-1,+oo)B.(-1
7、,+oo)C・(-oc,-1]D.(-oo,-1)13.函数/(x)=x3+ax2+bx+a2在兀=1处有极小值10,求a+b的值.14.设x=1和x=2是函数f(x)=ax3+6兀+1的两个极值点.(1)求依b的值；(2)求/(兀)的单调区间15.已知函数/(x)=—x3——x2+(a+l)x+l,其中a为实数.32(1)已知函数/(兀)在兀=1处取得极值，求0的值；(2)已知不等式/r(x)>x2-x-tz+l对任意aw(O,+g)都成立，求实数兀的取值范用.10.已知函数/(%)=%3+(l-6z)x2-q(q+2)x+方(a,bgR).(1)若函数/(
8、兀)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求的值;(2)若函数/(兀)在区间(一1,1)上不单调,求Q的取值范围.11.设函数f(x)=x3~x2+6x-a.(1)对于任意实数x,恒成立，求加的最大值;(2)若方程f(x)=0冇fl仅冇一个实根，求g的取值范围.
