131 导数在函数研究中的应用(1)

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1、1.3.1导数在函数研究中的应用—函数的单调性目标：应用导数判别函数的单调性一.函数的单调性定义的回顾1.增函数的定义设函数在区间上有定义，如果对于任意的，当时，都有，则称函数在区间上为增函数，相应的区间则称为函数的递增区间.直观上，函数在区间上为增函数，就是在区间上函数值随着的增大而增大，函数的图象（从左到右）不断地上升.2.减函数的定义设函数在区间上有定义，如果对于任意的，当时，都有，则称函数在区间上为减函数，相应的区间则称为函数的递减区间.直观上，函数在区间上为减函数，就是在区间上函数值随着的增

2、大而减小，函数的图象（从左到右）不断地下降.3.函数的单调性和单调区间如果函数在区间I上为增函数或减函数，那么就说函数在区间I具有（严格的）单调性，函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间.注：确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭（连续的函数单调区间的端点都能取闭）.4.函数单调性的讨论或证明（三步走——老办法以后一般不用）函数单调性的讨论或证明必须按定义的要求进行.具体步骤如下：①.设I，且；②.计算，并讨论其符号，以确定或；③.根据①②作出结论.5.复合函数的单调

3、性（很多场合仍不失为一个很实用的方法）给定函数，及函数，经复合后得到关于的复合函数，设当时，内函数单调，且相应的值域区间为E（E={

4、，}），如果外函数在时也是单调的，那么复合函数作为的函数在时也是单调的.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.6.单调函数的有关结论.①.增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数.常数与增函数的和为增函数，常数与减函数的和为减函数；②.非零常数与单调函数的积仍为单调函数，且若这个常数为正，则单调性不变；若这个常数为负，则单调性改变；③.奇函数在关于原点对

5、称的区域上有相同的单调性；④.偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性.二.应用导数判断函数的单调性应用导数对函数的单调性加以判断，而且在很多场合下更为方便.考察下面的例子：函数的图象如下图所示，考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象上我们可以看到：在区间内，切线的斜率为正，即，这时为增函数；在区间内，切线的斜率为负，即，这时为减函数.一般地，我们有如下的结论：如果函数在开区间内可导，且，则函数在开区间上为增函数；如果函数在开区间内可导，且，则函数在开区间上为减函数如果在开区间内恒有，则为常数

6、.以上结论可以进一步地推广为：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则函数在闭区间上为增函数；如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则函数在闭区间上为减函数；如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且则函数在闭区间上为常数.例1.如图，以等速（单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试找出各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.一般地，如果函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图象（向上或向下）就比较“陡峭”；反之，就比较“平缓”；

7、如图，函数在区间内的图象就比较“陡峭”，而在区间内就比较“平缓”.例2.函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.例3.确定函数增减性.应用导数确定函数的单调性具体步骤如下：①.一确定函数的定义域；②.求出函数的导数；③.由（或）解出相应的的范围，即得函数的单调递增（或递减区间）.例4.确定函数的单调区间，画出函数图象的大致形状.例5.确定函数的单调区间.例6.确定函数的单调区间.例7.求证：方程只有一个根.例8.已知函数.①.确定函数的单调区间；②.确定方程根的个数.例9.确定函数的单调区间，

8、画出函数图象的大致形状.注：如果函数在区间上满足以下条件：①.在区间上连续，在区间内可导；②.在区间内，（可以有有限个点的导数为零）则函数在区间上单调递增（减）.例10.求证：当时，.三.课外练习：《优化设计》.四.补充练习1.函数是定义在R上的可导函数，则为R上的单调增函数是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若在区间内有，且，则在区间内有（）A.B.C.D.不能确定3.（2009.广东高考）函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.4.若函数的递减区间为

9、，则的范围是（）A.B.C.D.5.函数，其中为实数，当时，是（）A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数6.在上是（）A.增函数B.减函数C.在内为增函数，内为减函数D.在内为减函数，内为增函数7.若函数（为常数）在区间和内单调递增，在区间单调递减，求的值.8.确定函数的单调区间.9.若函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，求实数的取值范围.10.已知函数.①.确定函数的单调区间；②.画出函数图象的大致形状；③.确定方程根的个数.11