131导数在函数研究中的应用(1)

《131导数在函数研究中的应用(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、1.3.1导数在函数研究中的应用一函数的单调性目标：应用导数判别函数的单调性一•函数的单调性定义的回顾1・增函数的定义设函数/（劝在区间/上有定义，如果对于任意的x2eZ,当x.

2、兀）在区间/上为减函数，相应的区间/则称为函数的递减区间.直观上，函数/（%）在区间/上为减函数，就是在区间/上函数值》（=/（%））随着兀的增大而减小，函数的图象（从左到右）不断地下降.3•函数的单调性和单调区间如果函数在区间I上为增函数或减函数，那么就说函数fM在区间/具有（严格的）单调性，函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间.注：确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭（连续的函数单调区间的端点都能取闭）・4•函数单调性的讨论或证明（三步走——老办法以后一般不用）函数单调性的讨论或证明必须

3、按定义的要求进行.具体步骤如下:①•设x2gZ,且%,/（兀2）5③•根据①②作出结论.5•复合函数的单调性（很多场合仍不失为一个很实用的方法）给定函数y=f（u）9及函数u=g（x）9经复合后得到关于X的复合函数y=/[g（Q]，设当兀w/时,内函数u=g（x）单调，且相应的值域区间为ECB={u

4、u=g(x),xe/}),如果外函数y=/(%)在u^E时也是单调的，那么复合函数y=f[g（x）]作为x的函数在xwI时也是单调的.复合函数的单调性遵循“同增异减

5、”的原则.6•单调函数的有关结论.①•增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数•常数与增函数的和为增函数，常数与减函数的和为减函数;②•非零常数与单调函数的积仍为单调函数，且若这个常数为正，则单调性不变；若这个常数为负，则单调性改变；③•奇函数在关于原点对称的区域上有相同的单调性；④•偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性.二•应用导数判断函数的单调性应用导数对函数的单调性加以判断，而且在很多场合下更为方便.考察下面的例子:即广（兀）〉0,这时/⑴为增函数;在区间函数V=/（兀）=x2-4x+3的图象如下图所示

6、，考虑到曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数/（兀）的导数，从图象上我们可以看到：在区间（2,+oo）内，切线的斜率为正，这时/（兀）为减函数.（一8,2）内,切线的斜率为负，即/z（x）＜0,一般地，我们有如下的结论：如果函数y=fM在开区间⑺”）内可导，且广⑴〉0,则函数/（%）在开区间⑺"）上为增函数;如果函数y=f（x）在开区间⑺”）内可导，且广（x）＜0,则函数/（兀）在开区间⑺,b）上为减函数如果在开区间⑺,①内恒有广（兀）=0,则/・（兀）为常数.以上结论可以进一步地推广为:如果函数y=/S)在闭区间as上连续，在

7、开区间(d，b)内可导，且广⑴〉0,则函数/(劝在闭区间［Q,S上为增函数;如果函数『=/(X)在闭区间［d,①上连续，在开区间(⑦方)内可导，且Ax)<0,则函数于⑴在闭区间［a,6上为减函数；如果函数y=f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且广⑴=0则函数/⑴在闭区间⑺，S上为常数.例1•如图，以等速(单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，试找出各容器对应的水的高度力与时间［的函数关系图象.(A)(4)般地，如果函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时

8、函数的图象(向上或向下)就比较“陡峭S反之，就比较“平缓”；如图，函数y=f(x)在区间(0,d)内的图象就比较“陡峭”，而在区间(d,+oo)内就比较“平缓”・例2•函数歹=f(%)的图象如图所示，试画出导函数y=图象的大致形状.例3•确定函数/（%）=2疋一6兀2+7增减性.应用导数确定函数的单调性具体步骤如下：①•一确定函数/（Q的定义域；②•求出函数/*（劝的导数广（兀）；③•由广（兀）＞0（或广（兀）＜0）解出相应的兀的范围，即得函数/（x）的单调递增（或递减区间）.例4•确定函数y=疋-4卍+3的单调区间，画出函数图

9、象的大致形状.例5•确定函数y=Ux—x1的单调区间.例6•确定函数y=兀+总@＞0）的单调区间.X例7•求证：方程x-2sin兀=0只有一个根兀=0・例8•已知函数/（兀）=x-Inx・①.确定函数/（兀）=兀-lnx的单调区间;②•确定方程/（兀）=0根的个