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时间:2020-01-17
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1、近世代数第二章群论§8不变子群和商群7/17/202103:43二、不变子群的定义定义1且,,则称是群的一个不变子群(或正规子群).,记作例1任意群的两个平凡子群都是不变子群.例2任意群的中心都是不变子群.例3交换群的子群都是不变子群.7/17/202103:43例4因为,所以是因为不是,所以的不变子群.的不变子群.解:7/17/202103:43三、不变子群的性质性质1设,则是的不变子群,有,性质2群的任何两个不变子群的交还是的不变子群.,有,有性质3不变子群与子群的乘积是子群;不变子群与不变子群的乘积是不变子群.(定理2)(定义)(定理1)7/17/202103:
2、43四、商群关于,有左单位元⑤,有逆元.①做成群.,故非空;②有乘法运算;③,有结合律;④;证明:7/17/202103:43四、商群关于做成群.设,则称关于做成的群为关于的商群.定义27/17/202103:43商群有下列常用的性质:商群的阶=2)如果是有限群,则商群的阶==3)有限群的商群还是有限群,且其任一商群的阶是群阶数的因数.为商群的单位元,为的逆元.,则4)7/17/202103:43练习:1.设为整数加群,(1)证明;(2)求2.(1)证明;(2)求7/17/202103:43
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