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1、不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设是的一个子群，如果对,都有,那么，就说是的一个不变子群.记为：.设和是群中的两个元素，如果在中至少可找到这样的一个元素，使，则称与在中共轭.3．正规化子：N(H)={g∈G︱H=H}={g∈G︱gHg=
2、H}称H在G中的正规化子。4．同余关系：设集合A中有二元运算，记作乘法，若A的一个等价关系R满足：aRb,cRdacRbda,b,c∈A则称R为A的一个同余关系。一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.㈠．与定义等价的判别条件1.HG，即a∈G,有aH=Ha2.a∈G,有aHa=H133.a∈G,有aHaH4.a∈G,h∈H,有aha∈H5.a∈G,有aHHa6.a∈G,有HaHa7.aHbH=abH,a,b∈G即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.a∈G,有aHa=H10.
3、a∈G,有aHaH11.a∈G,h∈H,有aha∈H12.a∈G,有HaaH13.a∈G,有HaHa14.HaHb=Hab,a,b∈G即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当ab∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=G19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)H。即H由G的若干整个的共轭类组成。证明上述条件的等价性，在此采用两种证法.证法1：13证明思
4、路：2←→9，3←→10，4←→11，5←→12，6←→13，7←→14，8←→15817↓↑↓↑18←→1→2→3→4→5→6→1←→19↓↑↑↓7→→→→→←←←←16证明过程：29:a∈G,有aHa=H,故a(aHa)a=aHaaHa=H92:a∈G,有aHa=H,故a(aHa)a=aHaaHa=H310:a∈G,有aHaHaha∈Haha=hh,h∈Hh=ahaaha∈HaHaH103:a∈G,有aHaHaha=hh,h∈Hh=ahaaha∈HaHaHa∈G411:a∈G,h∈H,有aha∈Haha=hh∈
5、Haha=haha∈Hh∈H114:a∈G,h∈H,有aha∈Haha=hh∈Haha=haha∈Hh∈H512:a∈G，有aHHaah=hah,h∈Hha∈aHHaaH125:a∈G，有HaaHha=ahh,h∈Hah∈HaaHHa13613:a∈G,有HaHah∈aHah=ahah,h∈Hh=ahah∈aHaHaHaa∈G136:a∈G，有HaHaaHaa(aHa)a即aHaHaha=hh,h∈Hh∈aHaHaHaa∈G714:∵aHbH=abH,a,b∈GH(aHbH)H=H(abH)HHaHb=Hab,a,
6、b∈G147:∵HaHb=Hab,a,b∈GH(aHbH)H=H(abH)HaHbH=abH,a,b∈G815:H在G中的每个左陪集都是一个右陪集，即a∈G,有aH=Ha故Ha=aHa∈G即H在G中的每个右陪集都是一个左陪集12:由H是G的不变子群，即a∈G,有aH=Ha,于是aHa=Haa=He=H23:a∈G,有aHa=H,显然aHaH34:a∈G,有aHaH故a∈G,h∈H有aha∈H45:a∈G,aha∈Hah∈Hah∈HaHHa56:a∈G,aHHaa(aH)aHaHaHaa∈G61:a∈G,有HaHah
7、∈aHah=ahaah=hah,h∈HaHHa且HaaHHa=aHa∈G17:先证aHbHabH：a∈G,有aH=Ha,设a,b∈G,存在h,h,h,h∈H,有ha=ahhb=bh13于是ahbh=hahb=abhh=abh∈abHaHbHabH再证abHaHbH∵abh=ahb1∈aHbHabHaHbHa,b∈G综上a,b∈G,有aHbH=abH74:设a∈G,h∈H,有aha∈aHaH∵aHaH=aaH=H∴aha∈Ha∈G,h∈H174:设R是同余关系,a∈G,h∈H,于是有ahRa,aRa∴(ah)aRaa
8、即ahaRe,亦即aha∈H417:g∈G,h∈H有ghg∈H,设aRb,cRd,则存在h,h∈H,使得b=ahd=ch又∵(dhd)h∈H∴(bd)ac∈H即acRbd,亦即R为同余关系28:a∈G,aHa=H(aHa)a=HaaH=Ha即每个左陪集同时也是右陪集。82:若aH=Hb,则a∈Hb∴Ha=Hb∴对a∈G,有aH=HaaHa=H118:若H不是
