高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨三平面与圆锥面的截线互动课堂学案

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1、三平面与圆锥面的截线互动课堂重难突破一、在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,其夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l交角为β（π与l平行,记β＝0）,则（1）,平面π与圆锥的交线为圆;（2）β＞α,平面π与圆锥的交线为椭圆;（3）β＝α,平面π与圆锥的交线为抛物线;（4）β＜α,平面π与圆锥的交线为双曲线.图3-3-1二、刨根问底问题椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形,其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,它们都满足曲线上的点

2、到焦点的距离与到准线的距离之比为常数,即离心率e,定义上的统一,必然也蕴含着图形统一,应该如何解释这种现象呢？探究:我们知道,椭圆时离心率e越大,椭圆越扁;双曲线时离心率e越大,双曲线开口越大.随着e的增大,椭圆越变越扁,但左半部分开口越来越大,左顶点离l越来越近,而右顶点离F点越来越远;当e趋近于1时,左顶点趋近于F与l间的中点,而右顶点趋向无穷远处;当e=1时,我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处,此时曲线变为抛物线;当e＞1时,开口越来越大,右顶点超过无穷远处并开始返回,此时曲线变为双曲线两支,或认为双曲线

3、两支无限延伸交于无穷远处,如图3-3-3.图3-3-3于是我们可以猜想:三条圆锥曲线都为封闭图形,其形状都为椭圆,所以,圆锥曲线在图形上依然存在着统一.这是一种无限的思想,所以我们可更大胆猜想如果人一直往前走,当生命允许的话,最终会走到自己的背后.我们可以在理论上对图形的统一性进行探索.因为顶点（曲线与两个坐标轴的交点）如A1是圆锥曲线上的点,所以满足=e,当e→1时,A1向中点靠近;当e=1时,A1位于中点;当e→+∞时,A1向N靠近.这里A1只是2的内分点,其实满足的还有一个外分点,即另一顶点A2,满足.

4、当e<1时,圆锥曲线为椭圆,所以它的外分点A2位于NF的延长线上;当e→1时,A2离F点越远;当e=1时,外分点不存在,或者我们就可以理解为A2位于无穷远处,所以抛物线只有一个顶点;当e>1时,圆锥曲线为双曲线,外分点A2位于NF的反向延长线上;e→+∞时,A2从左侧向N靠近.这也揭示了为什么椭圆有两个顶点,抛物线只有一个顶点,双曲线有两个顶点,及它们之间的区别,你可以由此进一步理解圆锥曲线的内在统一性.活学巧用【例1】利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方

5、,并且与平面π及圆锥均相切）证明β＞α,平面π与圆锥的交线为椭圆.图3-3-2思路解析:点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1.证法一:利用椭圆第一定义,证明FA+AE=BA+AC=定值,详见课本.证法二:①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行,记这个圆所在平面为π′;②如果平面π与平面π′的交线为m,在图中椭圆上任取一点A,该Dandelin球与平面π的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于1）（称点F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数

6、为离心率e）.【例2】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.思路解析:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,可以找到动圆圆心满足的条件.解:两定圆的圆心和半径分别为O1（-3,0）,r1=1;O2（3,0）,r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得

7、MO1

8、=1+R,

9、MO2

10、=9-R.∴

11、MO1

12、+

13、MO2

14、=10.由椭圆的定义知道M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3.∴b2=a2-c

15、2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为+.2