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《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（第1课时）椭圆的几何性质学案（含解析）新人教B版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一 椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围
2、x
3、≤a，
4、y
5、≤b
6、x
7、≤b，
8、y
9、≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为
10、2b知识点二 椭圆的离心率1．椭圆的焦距与长轴长的比e＝称为椭圆的离心率．2．因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆．1．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.( × )2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.( × )4．设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则
11、MF
12、的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．( √ )题型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m
13、＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 由已知得＋＝1(m＞0)，∵0＜m2＜4m2，∴＞，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝，∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，顶点坐标为，，，，离心率e＝＝＝.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C1
14、：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.题型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形
15、，且焦点到同侧顶点的距离为.解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知得∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦
16、距为6.解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．∵＝＝＝，∴a＝2b.∴椭圆方程为＋＝1.设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋2
17、＝4b2＋y2－3y＋＝－32＋4b2＋3，令f(y)＝－32＋4b2＋3.(1)当－b≤－，即b≥时，d＝f＝4b2＋3＝7，解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)当－<－b，即0，与b<矛盾．综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1.反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一
18、种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
