2019_2020学年高中数学课时分层作业11排序不等式(含解析)新人教A版选修4_5

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1、课时分层作业(十一) 排序不等式(建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.设a≥b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q的大小关系是(  )A.P>Q     B.P≥QC.P0,∴a2≥b2>0.因此a3+b3≥a2b+ab2(排序不等式),则P≥Q.]2.设a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数,在排序不等式中,顺序和,反序和,乱序和的大小关系为(  )A.反序和≥乱序和≥顺序和B.反序和=乱序和=顺序和C.反序和≤乱序和

2、≤顺序和D.反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定[答案] C3.设正实数a1,a2,a3的任一排列为a′1,a′2,a′3,则++的最小值为(  )A.3B.6C.9D.12A [设a1≥a2≥a3>0,则≥≥>0,由乱序和不小于反序和知,++≥++=3,∴++的最小值为3,故选A.]4.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中x1,x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系为(  )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤BC [依序列{xn}的各项都是正数,不妨

3、设0<x1≤x2≤…≤xn,则x2,x3,…,xn,x1为序列{xn}的一个排列.依排序原理,得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1,即x+x+…+x≥x1x2+x2x3+…+xnx1.故选C.]5.已知a,b,c为正实数,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是(  )A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零B [设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab

4、≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab,∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.]二、填空题6.若a,b,c∈R+,则++________a+b+c.[解析] 不妨设a≥b≥c>0,则bc≤ca≤ab,≤≤,∴++≥++=a+b+c.[答案] ≥7.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为_

5、_______s.[解析] 等候的最短时间为:3×4+4×3+5×2+7×1=41(s).[答案] 418.设a1,a2,a3为正数,且a1+a2+a3=1,则++的最小值为________.[解析] 不妨设a3>a1>a2>0,则<<,所以a1a2

6、1)不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,∴a3+b3=a2·a+b2·b≥a2b+b2a,∴a3+b3≥ab(a+b).(2)由(1)知,同理b3+c3≥bc(b+c),c3+a3≥ac(c+a),所以++≤++==·=.故原不等式得证.10.已知a,b,c都是正数,求++的最小值.[解] 由对称性,不妨设0<c≤b≤a,则有a+b≥a+c≥b+c>0,所以0<≤≤.由排序不等式得++≥++,①++≥++.②由①②知2≥3,∴++≥.当且仅当a=b=c时,++取最小值.[能力提升练]1.锐角

7、三角形中,设P=,Q=acosC+bcosB+ccosA,则P,Q的关系为(  )A.P≥QB.P=QC.P≤QD.不能确定C [不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC,则由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sinC+sinA+sinB)==P.]2.已知a+b+c=1,a,b,c为正数,则++的最

8、小值是________.[解析] 不妨设a≥b≥c,∴≥≥,∴++≥++,①++≥++,②①+②得++≥,∴++≥.[答案] 3.在Rt△ABC中,∠C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与(a+b)的大小关系为________.[解析] 不妨设a≥b>0,则A≥B>0,由排序不等式⇒2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)=(a+b),∴aA+bB≥(a+b).[答案] aA+bB≥(a+b)4.已知0<α<β<γ<,求证:sinαco

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1、课时分层作业(十一) 排序不等式(建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.设a≥b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q的大小关系是(  )A.P>Q     B.P≥QC.P0,∴a2≥b2>0.因此a3+b3≥a2b+ab2(排序不等式),则P≥Q.]2.设a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数,在排序不等式中,顺序和,反序和,乱序和的大小关系为(  )A.反序和≥乱序和≥顺序和B.反序和=乱序和=顺序和C.反序和≤乱序和

2、≤顺序和D.反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定[答案] C3.设正实数a1,a2,a3的任一排列为a′1,a′2,a′3,则++的最小值为(  )A.3B.6C.9D.12A [设a1≥a2≥a3>0,则≥≥>0,由乱序和不小于反序和知,++≥++=3,∴++的最小值为3,故选A.]4.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中x1,x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系为(  )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤BC [依序列{xn}的各项都是正数,不妨

3、设0<x1≤x2≤…≤xn,则x2,x3,…,xn,x1为序列{xn}的一个排列.依排序原理,得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1,即x+x+…+x≥x1x2+x2x3+…+xnx1.故选C.]5.已知a,b,c为正实数,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是(  )A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零B [设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab

4、≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab,∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.]二、填空题6.若a,b,c∈R+,则++________a+b+c.[解析] 不妨设a≥b≥c>0,则bc≤ca≤ab,≤≤,∴++≥++=a+b+c.[答案] ≥7.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为_

5、_______s.[解析] 等候的最短时间为:3×4+4×3+5×2+7×1=41(s).[答案] 418.设a1,a2,a3为正数,且a1+a2+a3=1,则++的最小值为________.[解析] 不妨设a3>a1>a2>0,则<<,所以a1a2

6、1)不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,∴a3+b3=a2·a+b2·b≥a2b+b2a,∴a3+b3≥ab(a+b).(2)由(1)知,同理b3+c3≥bc(b+c),c3+a3≥ac(c+a),所以++≤++==·=.故原不等式得证.10.已知a,b,c都是正数,求++的最小值.[解] 由对称性,不妨设0<c≤b≤a,则有a+b≥a+c≥b+c>0,所以0<≤≤.由排序不等式得++≥++,①++≥++.②由①②知2≥3,∴++≥.当且仅当a=b=c时,++取最小值.[能力提升练]1.锐角

7、三角形中,设P=,Q=acosC+bcosB+ccosA,则P,Q的关系为(  )A.P≥QB.P=QC.P≤QD.不能确定C [不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC,则由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sinC+sinA+sinB)==P.]2.已知a+b+c=1,a,b,c为正数,则++的最

8、小值是________.[解析] 不妨设a≥b≥c,∴≥≥,∴++≥++,①++≥++,②①+②得++≥,∴++≥.[答案] 3.在Rt△ABC中,∠C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与(a+b)的大小关系为________.[解析] 不妨设a≥b>0,则A≥B>0,由排序不等式⇒2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)=(a+b),∴aA+bB≥(a+b).[答案] aA+bB≥(a+b)4.已知0<α<β<γ<,求证:sinαco

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