2017_18学年高中数学第一讲章末小结与测评创新应用教学案

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1、第一讲不等式和绝对值不等式本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．　若a、b是任意实数，且a＞b，则(　　)A．a2＞b2B.＜1C．lg(a－b)＞0D.＜[解析]　结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大小，或用特殊值法判断．19a＞b并不能保证a、b均为正数，从而不能保证A、B成立．又a＞b⇔a－b＞0，但不能保证a－b＞1，从而不能保证C成立．显然只有D成立．事实上，指数函数y＝是减函数，所以a＞b⇔＜成立．[答

2、案]　D1．证明不等式不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．　已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：·≥9.[证明]　法一：∵x＋y＝1，∴＝＝1＋，∴＝＝1＋，∴＝＝5＋2≥5＋2×2＝9.当且仅当＝，x＋y＝1，即x＝y＝时等号成立．法二：∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴xy≤＝，∴≥4.∴＝1＋＋＋＝1＋＋1＋＋1＋＝3＋＋＋≥3＋4＋2＝9.当且仅当＝，x＋y＝1，19即x＝y＝时等号成立．　若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥

3、.[证明]　∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，∴2＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)．∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥3×3＝9.∴原式得证．2．求函数的最值在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．　已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[解]　y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)，∵0＜x＜，∴1－3x＞0，x＞0.∴y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)≤×＝.当且仅当3x＝1－3x即x＝，y有最大值.　当0

4、(x)＝的最小值为(　　)A．2　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．4[解析]　利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用基本不等式求解．19f(x)＝＝＋4tanx.∵x∈，∴tanx>0.故f(x)＝＋4tanx≥2＝4，故选C.[答案]　C3．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数y＝x＋的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变

5、形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．　某游泳馆出售冬游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？[解]　设买x张游泳卡，总开支为y元，则(1)每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．∴

6、y＝240≥240×2＝3840，当且仅当x＝，即x＝8时取等号．19故每人最少应交＝80(元)．(2)每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．∴y＝240≥240×2＝1920，当且仅当x＝，即x＝4时取等号．但0＜x≤48，x∈Z，又当x1＝5时，y1＝240×＝2736；当x2＝6时，y2＝240×＝2720.∵y1＞y2，∴当x＝6时，y有最小值，即ymin＝2720.故每人最少应交≈56.67(元).1．公式法

7、f(x)

8、＞g(x)⇔f(x)＞g(

9、x)或f(x)＜－g(x)；

10、f(x)

11、＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．2．平方法

12、f(x)

13、＞

14、g(x)

15、⇔[f(x)]2＞[g(x)]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，19可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．　解下列关于x的不等式：(1)

16、x－x2－2

17、＞x2－3x－4；(2)

18、x＋1

19、＞

20、x－3

21、；(3)

22、x2－2

23、x

24、－2

25、≤1；(4)

26、x－2

27、－

28、2x＋5

29、

30、＞2x；(5)

31、2x－1

32、＜

33、x

34、＋1.[解]　(1)法一：原不等式等价于x－x2－2＞x2－3x－4或x－