2017_18学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法章末小结与测评创新应用教学案

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1、第二讲证明不等式的基本方法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．　若x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0，求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．[证明]　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)15＝＋＋(z2＋x2－2zx)＝＋(y－z)2＋≥0.∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋z

2、x)成立.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．　设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)f(1)＞0，求证：(1)方程f(x)＝0有实根；(2)－2＜＜－1；(3)设x1，x2是方程f(x)＝

3、0的两个实根，则≤

4、x1－x2

5、＜.[证明]　(1)当a＝0时，b＝－c，f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4(b2－3ac)，由a＋b＋c＝0，消去b，得Δ＝4(a2＋c2－ac)＝4[＋c2]＞0.故方程f(x)＝0有实根．(2)由f(0)·f(1)>0，得c(3a＋2b＋c)>0.15由a＋b＋c＝0，消去c得(a＋b)(2a＋b)<0.因为a2＞0，所以＜0.故－2<<－1.(3)由已知得，x1＋x2＝－，x1x2＝＝－，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋.因为－2<<－1，所以≤

6、(x1－x2)2<.故≤

7、x1－x2

8、<.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证

9、题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．　已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≤2.[证明]　要证＋≤2，只要证≤4，即证a＋b＋1＋2≤4.15只要证：≤1.也就是要证：ab＋(a＋b)＋≤1，即证ab≤.∵a＞0，b>0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，即上式成立．故＋≤2.(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证

10、明的目的．　若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边．求证：a3＋b3＜c3.[证明]　假设a3＋b3≥c3，则＋≥1.①∵a，b，c为直角三角形的三边且c为斜边，∴a2＋b2＝c2，∈(0，1)，∈(0，1)，∴＋＝1，∴＋＜1.②①与②矛盾．∴假设不成立．∴a3＋b3＜c3.　求证：1＋＋＋＋…＋<3.[证明]　由<＝(k是大于2的自然数)，得1＋＋＋＋…＋<1＋1＋＋＋＋…＋＝1＋15＝3－＜3.一、选择题1．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x＞0，所以ex＞1，0＜＜1，所以ex－＞0，即f′(

11、x)＞0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是(　　)A．综合法　　　　　　　　B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：选A　上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1，2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn＜xn＋1，或者对任意的正整数n都满足xn＞xn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为(　　)A．对任