2017_18学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式章末小结与测评创新应用教学案

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1、第三讲柯西不等式与排序不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．14　若n是不小于2的正整数，求证：＜1－＋－＋…＋－＜.[证明]　1－＋－＋…＋－＝－2＝＋＋…＋，所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.由柯西不等式，有[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2，于是＋＋…＋≥＝＝≥＝，又由柯西不等式，有＋＋…＋＜＜＝.　设a，b，c，d为不全相等的正数．求证：＋＋＋>.[证明]　记s＝a＋b＋c＋d，

8、则原不等式等价于＋＋＋>.构造两组数，，，；，，，，由柯西不等式得[()2＋()2＋()2＋()2]·[＋＋＋]≥(1＋1＋1＋1)2.即[4s－(a＋b＋c＋d)]·(＋＋＋)≥16，14于是＋＋＋≥，等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d.因题设a，b，c，d不全相等，故取不到等号，即＋＋＋>.利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．　已知正实数u，v，w满足u2＋v2＋w2＝8，求＋＋的最小值．[解]　∵u2＋v2＋w2＝8.∴82

9、＝(u2＋v2＋w2)2＝≤(9＋16＋25)，∴＋＋≥＝.当且仅当÷3＝÷4＝÷5，即u＝，v＝，w＝2时取到“＝”号，∴当u＝，v＝，w＝2时＋＋的最小值为.　设ai∈R＋(i＝1，2，…，n)且i＝1，求：S＝＋＋…＋的最小值．[解]　S＝＋＋…＋关于a1，…，an对称，不妨设1＞a1≥a2≥…≥an＞0，则0＜2－a1≤2－a2≤…≤2－an，且≥≥…≥＞0，14∴S≥(a1＋a2＋…＋an)＝.又由柯西不等式，得[(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)]≥n2，而(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)＝2n－1，所以，S≥×＝，当且仅当a1＝a2＝…＝an＝时，上

10、面几个不等式的等号成立，于是S的最小值为.　已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．[解]　由柯西不等式：[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋＋]≥.因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是7，所以＝7，得a＝36，当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值，所以a＝36.14(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．(2)注意等号成立的条件．　在△ABC中，试证：≤＜.[证明]　不妨设a≤b≤c，于是A

11、≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．得≥，①又由0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．得＜.②由①、②得原不等式成立．一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．函数y＝＋2的最大值是(　　)

12、A.B.C．3D．5解析：选B　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.2．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是　　(　　)14A．1B．nC．n2D.解析：选C　设n个正数为x1，x2，…，xn，由柯西不等式，得(x1＋x2＋…＋xn)(＋＋…＋)≥＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.3．设x、y、z，满足x2＋2y2＋3z2＝3，则x＋2y＋3z的最大值是(　　)A．3B．4C.D．6解析：选A　构造两组数：x，y，z和1，，，由柯西不等式得[x2＋(y)2＋(z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋2y＋3z)2，∴(x＋2y＋3z)2≤18，∴－3≤S≤3.二、填空题4．

13、设a，b是给定的正数，则＋的最小值为________．解析：＋＝(sin2α＋cos2α)≥＝(a＋b)2.答案：(a＋b)25．x∈R，则＋的最大值为________．解析：(＋)2≤(12＋12)(1＋sinx＋1－sinx)＝4，∴＋≤2.当且仅当＝，即sinx＝0时取等号．答案：26．函数y＝＋的最小值为________．解析：y＝＋＝＋14＝[2x＋(1－2x)]≥＝25.答案：257．已知a，b，x，y＞0，且ab＝4，x＋y＝1，