高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第2节 一般形式的柯西不等式创新应用教学案 新人教A版选修.doc

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1、第2节一般形式的柯西不等式创新应用[核心必知]1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号

2、成立．[问题思考]1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．　　　设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋>.[精讲详析]　本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a

3、)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵＝·[()2＋()2＋()2]≥＝(a＋b

4、＋c)2，即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，又a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c>0，∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立。　　　设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝＋＋的最大值．[精讲详析]　本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1×＋1×＋1×)2，故＋＋≤2.当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，此时umax＝2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结

5、果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解：由柯西不等式，得(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21.当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．故＋＋的最大值为.　　　设f(x)＝lg，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求证：f(2x)≥2f(x)．[精讲详析]　本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用，解答本题的关键是将f(2x)≥2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法．∵f

6、(2x)＝lg，∴要证f(2x)≥2f(x)，只要证lg≥2lg，即证≥(*)也即证n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，∵0≤a≤1，∴a≥a2，根据柯西不等式得n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]≥(12＋12＋…＋12),sdo4(n个)){(1x)2＋(2x)2＋…＋[(n－1)x]2＋(a·nx)2}≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，即(*)式显然成立，故原不等式成立．对于较复杂的证明问题，可采用“分析法”进行“抽丝剥茧”，从而

7、找到柯西不等式的结构特征．3．已知a1，a2，…，an都是正实数，且a1＋a2＋…＋an＝1.求证：＋＋…＋＋≥.证明：根据柯西不等式，得左边＝＋＋…＋＋＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＋(an＋a1)]×＋×＝[()2＋()2＋…＋()2＋()2]×＋×≥×＝(a1＋a2＋…＋an)2×＝＝右边．∴原不等式成立．本课时经常考查柯西不等式在证明不等式中的应用．福建高考以解答题的形式考查了柯西不等式在证明不等式中的应用，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](福建高考)已知函数f(x)＝m－

8、x

9、－2

10、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.[命题立意]　本题考查一般形式的柯西不等式在证明中的应用．[解]　(1)因为f(x＋2)＝m－

11、x