2017_18学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯西不等式创新应用教学案

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1、第1节二维形式的柯西不等式创新应用[核心必知]1．二维形式的柯西不等式(1)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；·≥ac＋bd(a，b，c，d∈R)；·≥ac＋bd(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则α·β≤αβ，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)＋≥(

2、x1，y1，x2，y2∈R)．(2)推论：＋≥，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．[问题思考]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？9提示：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．2．不等式＋≥(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线，且P1，P2在原点两旁时，等号成立.·≥a＋c，设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用

3、．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：·≥a＋b，即·≥a＋b，同理：·≥b＋c，·≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：(＋＋)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥·(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2，其中a，b，c，d∈R＋.91．设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥2(＋＋)．证明：因为a＋aa2＋a1a＋

4、a＝(a1＋a2)·(a＋a)，由柯西不等式得[()2＋()2](a＋a)≥(a1＋a2)2，于是a＋aa2＋a1a＋a≥(＋)2.故≥＋，同理≥＋，≥＋.将以上三个同向不等式相加，即得＋＋≥2(＋＋)．设a，b，c，d是4个不全为零的实数，求证：≤.[精讲详析]本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件．ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)≤＋＝·＋≤·＋＝(a2＋b2＋c2＋d2)．∴≤.利用柯西不

5、等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．92．设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：＋≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]≥＝(a＋b)2＝4.∴＋≥＝2.∴原不等式成立.若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不

6、等式的结构，然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.当且仅当＝时等号成立，由得因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为.9利用柯西不等式求最值的方法(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不

7、等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．3．如何把一条长为m的绳子截成2段，各围成一个正方形，使这2个正方形的面积和最小？解：设这2段的长度分别为x，y，则x＋y＝m，且2个正方形的面积和S＝＋＝(x2＋y2)．因为(x2＋y2)(12＋12)≥(x＋y)2＝m2，等号当且仅当x＝y＝时成立，所以x2＋y2有最小值，从而S有最小值.把绳子两等分后，这2段所围成的2个正方形的面积和最小．柯西不等

8、式在求最值中的应用是考试的热点．本考题以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的应用，是高考命题的一个新亮点．[考题印证]已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，求ac＋bd的最大值．[命题立意]本题考查柯西不等式在求最值中的应用．[解]∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，∴由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，9得(ac＋bd)2≤1×2＝2.∴－≤ac＋bd≤.当且仅当ad＝bc，即＝＝时取最大值.