高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式31二维形式的柯西不等式课堂导学案新人教

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1、3.1二维形式的柯西不等式课堂导学三点剖析一,利用二维形式的柯西不等式证明不等式【例1](1)如果a,b>0,且aHb,求证:a3+b3>a2b+ab2.⑵如果a,b>0且aHb,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.证明：⑴(a3+b3)(a2b+ab')=[(护)2+(仃)辽[(丽小锂石”]•y[a•b+•4b・a)2=(a：'b+ab2)；“二”成立的条件是・4b・a二•b,即a=b时成立，但aHb,故“=”不成立.(a3+bJ)(a2b+ab2)>(a2b+ab2)2.a3+b3>a2b+ab(2)(a5+b5)(a+b)=[(护严+(疔尸][(需尸+(丽尸]〉(JZ*~・4ci

2、+V^~・4by=(a3+b3)2.由(1)矢口a3+b3>a2b+ab2,(a5+b5)(a+b)>(a2b+ab2)2=a2b2(a+b)2./.『+b">(a+b)二・••原不等式成立.温馨提示要利用二维形式的柯西不等式,就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”(即两个数的乘积与另两个数的乘积Z和的形式).各个击破类题演练1设a,b,c均为正实数，且acos2◎+bsin290),cos2()+丽sin2())2二l(-JaCOS0

3、)•COS0+(丽sin0)•sin0]~W[(cos0)2+(y[bsin0)"]•(cos20+sir?0)=acos29+bsin29

4、产)空(1+")2Vsin2a二3+2迈，JI11等号当且仅当a二一时収得，此时=且sin2□=1.4sinacosa二、利用二维形式的柯西不等式求最值【例2】直线1经过第一象限内的点M(a,b),与x,y轴的正半轴相交于点P,Q,求线段PQ的最小值，及取得最小值时直线的方程.解析:设1的方程为-+2=l(m,n>0),mn…ab贝

5、J—l—二],mn引进待定常数(a2a+b2a)(aeR).由柯西不等式得(m'+nj(a"+b")2(ma7=—时,第一

6、个不等式取等号；当且仅当b因此当IL仅当两个等号同时成立时,11二二即哄亍，亦即匕时“+"瘀+血承/+耐取等号.223所以IPQI=y/m2+n2(tz3+/?3),223IPQI«in=(+沪)Q•17此吋k==「•I:y-b二-斗-(x-a).类题演练2设x>0,y>0,x+yW4,求丄+丄的最小值.解析：4(-4-丄)3(x+y)(丄+丄)兀y兀y$(1+1)~4,・・・丄+丄的最小值为1.兀y等号当且仅当x=y=2时取得.变式提升2X2y2求椭圆—+^=1的切线夹在两条坐标轴之间的线段的最小值.crtr解析:设M(xo,y°)是椭圆上任一点，22则答+卑=1.a2b2经过M点的切线

7、为］：辱+辱二1,crb=1与x,y轴分别相交于点P(—,0),Q(0,—).>02>2

8、pqI2=(—)2+(—)222兀()丄儿x-TV)a2b2x()儿?•2=[(—)2+(—)2]兀0Vo3(乞・也_+2122_)2兀0d%)b=(a+b)2.时等号成立.22于是IPQImin=a+b.三、利用二维柯西不等式解决其他问题【例3]求经过点P(5,1)与椭圆(兀-2)-+°+3)〜二]相切的切线方程.94解析：设直线方程为Ax+By+C=O,由经过点P(5,1)得C=-(5A+B).于是直线方程可表示为A(x-2)+B(y+3)=3A+4B.由柯西不等式得(3A+4B)=[A(x-2)

9、+B(y+3)]2=[3A-232W(9A〃+4B")[S_2)2*(y+3)2]94=9A2+4B2.直线与椭圆相切吋不等式取等号，即(3A+4B)2=9A2+4B2,解得B二0或B=-2A.所以要求的切线方程为x-5=0和x-2y-3二0.温馨提示研究直线与圆锥曲线的常规方法是釆用代入消元，化为一元二次方程，然后利用根的判别式求解，因这类问题常含有待定字母，导致解题过程冗长，计算烦琐.本例引用柯西不等式nJ解决直线与