概率统计论 浅谈泊松分布

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1、浅谈泊松分布班级：XXX姓名：XXX学号：XXX-6-浅谈泊松分布摘要：泊松分布——概率统计中常用的一种离散型概率分布，在实际生活中有很广泛的应用。当一个随机事件，以固定的平均瞬时速率（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。泊松分布对概率分布的分析与估计有着很重要的应用。 关键词：泊松分布二项分布概率统计1.泊松分布由来1.1什么是泊松分布Poisson分布(法语：loidePoisson，英语：Poissondistribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松

2、分布、卜氏分配等)，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discreteprobabilitydistribution)，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-DenisPoisson)在1838年时发表。泊松分布是概率论中常用的一种离散型概率分布。若随机变量X的分布列则称X服从参数为的泊松分布，并用记号表示。这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式是时提出来的。泊松分布P(λ)中只有一个参数λ，这个参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率,它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。在实际事例中,当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、

3、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。因此泊松分布在管理科学，运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.1.2泊松分布与二项分布的关系如果做一件事情成功的概率是p的话，那么独立尝试做这件事情n次，成功次数的分布就符合二项分布。展开来说，在做的n次中，成功次数有可能是0次、1次……n次。成功i次的概率是：-6-(n中选出i项的组合数)以上公式很容易推导，用一点概率学最基本的知识就够了。因为每一特定事

4、件成功的概率是p，不成功的概率是1-p。i次成功的事件可以任意分布在总共的n次尝试中。把它们乘起来就是恰好成功i次的概率。当我们把二项分布推而广之后，就可以得到泊松分布。可以这样考虑，在一个特定时间内，某件事情会在任意时刻随机发生（前提是，每次发生都是独立的，且跟时间无关）。当我们把这个时间段分成非常小的时间片构成时，可以认为，每个时间片内，该事件可能发生，也可能不发生。几乎可以不考虑发生多于一次的情况（因为时间片可被分的足够小）。当时间片分的越小，该时间片内发生这个事件的概率p就会成正比的减少。即：特定时间段被分成的时间片数量n与每个时间片内事件发生的概率p的乘积np为

5、一个常数。这个常数表示了该事件在指定时间段发生的频度。回过头来再来看这段时间内，指定事件恰好发生i次的概率是多少？代入上面推导出来的公式得到：当n趋向无穷大时，p趋向0。而此时趋向e.这个关于i的分布就是著名的泊松分布了。二项概率的泊松逼近如果，使得保持为正常数，则对k=0,1,2,…一致地成立。关于以上用到的一个极限的推导:当趋向于时，为什么它的值趋向?我们可知的导数是，由导数的定义可知-6-令(n趋向无穷大)代到上式中,并用对数计算法则化简得到再令，并再一次用对数运算法则化简可得,两边取指数函数，可变化为当z=1时，我们可以得到特例：回头再来看式子，令，因为趋向于，所

6、以趋向无穷大。前式可变形为：，当n趋向无穷大的时候，跟有相同的极限e.2.泊松分布的特征1）.泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布，要观察到这类事件，样本含量n必须很大。2）．是泊松分布所依赖的唯一参数。其值越大，分布越偏，随着的增大，分布趋于对称。3）.当时泊松分布接近于正态分布；当时，可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中，当时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。2.1泊松分布使用范围　泊松分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数.即需满足以下四个条件：　1.给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；　2.各段相等区

7、域内的特定事件产生的概率是一样的；-6-　3.各区域内，事件发生的概率是相互独立的；　4.当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。　　2.2泊松分布的性质1.泊松分布的均数与方差相等，即2．泊松分布的可加性　　如果，，…相互独立，且它们分别服从以，，…为参数的泊松分布，则也服从泊松分布，其参数为。3.泊松分布的应用　泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数