概率论与数理统计_11_泊松分布.pdf

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1、概率论与数理统计第11讲泊松分布张宏浩泊松（Poisson）分布如果随机变量X的分布律为kPXkek0，1，2，k!其中0为常数则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．记为X~().分布律的验证⑴由于0可知对任意的自然数k，有ke0k!⑵又由幂级数的展开式，可知kkeeee1k0k!k0k!所以kPXkek0，1，2，k!是分布律．自然界的稀有事件一般服从泊松分布！Poisson分布的应用•Poisson分布是概率论中重要的分布之一．•自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poi

2、sson分布．•例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．练习1设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知PX1PX2试求PX4．练习1解答设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知PX1PX2试求PX4．解：随机变量X的分布律为kPXkek0，1，2，k!由已知PX1PX2练习1解答（续）12得ee1!2!

3、2由此得方程20得解2．另一个解0不合题意，舍去4所以，PX42e222e4!30.09022练习2设一个人在一年内的感冒次数服从参数5的Poisson分布，现有一种预防感冒的药，它对30%的人来说，可将上述参数降为（疗效1显著）；对另45%的人来讲，可将参数降为（疗效一般）；而对其4余25%的人来讲，则是无效的．现某人服用此药一年，在这一年中，他得了3次感冒，试求此药对他“疗效显著”的概率．练习2解答解：设B={此人在一年中得3次感冒}A1该药疗效显著A2该药疗效一般A该药无效则由Bayes公式，得3PAPBA

4、11PAB1PAPBAPAPBAPAPBA1122333110.30e3!3331144550.30e0.45e0.25e3!3!3!0.1301Poisson定理设在Bernoulli试验中，以p代表事件A在试验n中发生的概率，它与试验总数n有关．如果limnp0nnkkknk则limCp1pennnnk！证明：令：npnnkknk则Cp1pnnnknknn1n2nk1nn1k！nnPoisson定理的证明(续1)knkn1

5、2k1n1111k!nnnn对于固定的k，有kk由limlimnp得limnnnnnnnknnnknnnnlim1lim1ennnnPoisson定理的证明(续2)所以，kknklimCp1pnnnnknkn12k1nlim1111nk!nnnnnk1k12k1nlimnlim111lim1k

6、!nnnnnnnkek！Poisson定理的应用由Poisson定理，可知若随机变量X~Bn，p，则当n比较大，p比较小时，令：npkknk则有PXkCp1pnkek!练习3设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．练习3解答设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．解：设B={600次射击至少命中3次目标}进行600次射击可看作是一个600重Bernoulli试验.X：600次射击命

7、中目标的次数．则X~B600，0.012．用Poisson分布近似计算，取6000.0127.2．练习3解答（续）所以，PBPX31PX31PX0PX1PX227.27.27.27.21e7.2ee20.9745Poisson分布的分布形态若X~，则PXkPXk1k1,k1,k1,k如果是整