泊松分布与生灭过程.ppt

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1、第二节顾客到达分布10/6/20211系统的组成顾客服务机构顾客到达有先后服务时间有长短存在随机性10/6/20212要想预测在某一时刻将有多少顾客要求服务系统服务，或者预测某一顾客的服务时间将要延误多久这都是不可能的对单位时间内到达系统的顾客数和服务时间这两个随机变量进行概率的描述描述顾客到达和服务时间的方法，要求出单位时间内有K个顾客到达系统要求服务的概率，以及服务时间不少于某一时间长度的概率10/6/20213最简单流（泊松流）流的平稳性对于任意的t≥0及Δt≥0，在时间区间(t,t+Δt)内有n个顾客到达的概率只与Δt有关，与时间区间的起点t无关。当Δt充分小时，在(t,t

2、+Δt)内有一个顾客到达的概率与Δt成正比，即其中，O(Δt)是当Δt→0时，关于Δt高阶无穷小，λ为单位时间内的顾客到达平均数。10/6/20214流的无后效性在时间轴上，互不相交的时间区段和内，顾客的到达数是相互独立的，即前一顾客的到达不影响后一顾客的到达。10/6/20215流的普遍性在同一时刻，有两个及两个以上顾客到达的概率与有一个顾客到达的概率相比小到可以忽略的程度，即当Δt充分小时，在时间区间(t,t+Δt)内有2个及2个以上顾客到达的概率是关于的高阶无穷小。10/6/20216流的平稳性流的普遍性在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率10/6/20217在长为(t

3、,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾客的概率?设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，如果在dt内，没有顾客到达，则称为“空着”。被“占着”的概率近似为被“空着”的概率近似根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到达可以看成是m次独立的试验10/6/20218在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾客的概率?在m个dt中，有n个dt被顾客“占着”的概率利用二项定律10/6/20219dt0，m10/6/202110符合最简单流（泊松流）的随机事件发生规律称为泊松分布单位时间发生n个随机时间的概率参数1个：λ—

4、顾客的平均到达率思考：交叉口交通流量，排队车辆？10/6/202111泊松分布的另外一种表达方式——负指数分布若n=0在Δt的时间段内没有顾客达到的概率前后两次随机事件发生的时间间隔大于Δt10/6/202112负指数分布泊松分布在单位时间Δt内，发生n次随机事件的概率随机事件发生时间间隔大于单位时间Δt的概率随机事件发生时间间隔小于单位时间Δt的概率参数1个：λ—顾客的平均到达率10/6/202113如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客单位时间内的到达数服从泊松分布。如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客到达的时间间隔服从负指数分布。从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一个过程

5、的不同表现形式。10/6/202114第三节生灭过程10/6/202115研究系统内部状态变化的过程系统状态i状态i+1状态i-1在Δt时刻内发生两个或两个以上事件的概率为O(Δt)一个事件一个事件一、生灭过程定义Δt→0，O(Δt)→0如在Δt→0内，交叉口一条车道到达两辆车的概率为O(Δt)→010/6/202116系统具有0,1,2,……个状态。在任何时刻，若系统处于状态i，并且系统状态随时间变化的过程满足以下条件，称为一个生灭过程：1、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i+1的概率为λiΔt+O(Δt)——平稳性条件Δt内有一个顾客到达的概率2、在（t,t+Δt）内

6、系统由状态i转移到状态i-1的概率为μiΔt+O(Δt)——平稳性条件Δt内有一个顾客离开的概率10/6/2021173、在（t,t+Δt）内系统发生两次以上转移的概率为O(Δt)，即有2个以上顾客到达或离开的概率为——普遍性条件只要排队系统的输入过程和服务过程符合泊松分布，排队过程符合生灭过程10/6/202118二、生灭过程状态转移图S0S1S2Si-1SiSi+1Sk-1Skμ1μ2μ3μi-1μiμi+1μi+2μk-1μkλ0λ1λ2λi-2λi-1λiλi+1λk-2λk-1……状态顾客到达率系统服务率t→∞时，Pi(t)趋向于常数：系统达到稳定10/6/202119系

7、统达到稳定后：每个状态转入率的期望值与转出率的期望值相等。对于状态i：转出率的期望值为转入率的期望值为S0S1S2Si-1SiSi+1Sk-1Skμ1μ2μ3μi-1μiμi+1μi+2μk-1μkλ0λ1λ2λi-2λi-1λiλi+1λk-2λk-1……P0P1P2Pi10/6/202120有对于S0转入转出转出转入对于SkS0S1S2Si-1SiSi+1Sk-1Skμ1μ2μ3μi-1μiμi+1μi+2μk-1μkλ0λ1λ2λi-2λi-1λiλi+1λk-