概率统计论浅谈泊松分布

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1、浅谈泊松分布班级：XXX姓名：XXX学号：XXXHARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY浅谈泊松分布摘要：泊松分布一一概率统计中常用的一种离散型概率分布，在实际生活中有很广泛的应用。当一个随机事件，以固定的平均瞬时速率2（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（而积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P（A）o泊松分布对概率分布的分析与估计有着很重要的应用。关键词：泊松分布二项分布概率统计1.泊松分布由来1.1什么是泊松分布Poisson分布（法语:loide

2、Poisson,英语:Poissondistribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discreteprobabilitydistribution）,由法国数学家西莫恩•德尼•泊松（Simeon-DenisPoisson）在1838年时发表。泊松分布是概率论中常用的一种离散型概率分布。若随机变量X的分布列P(X=k)=则称X服从参数为久的泊松分布，并用记号X〜尸仇）表示。这个分布是S.-D

3、.泊松研究二项分布的渐近公式是时提出来的。泊松分布P（入）中只有一个参数入，这个参数入是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、來到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域屮的白血球等等，以固定的平均瞬时速率入（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。因此泊松分布在管理科学，运筹学以及自然科学的某些问题中都占

4、有重要的地位.1.2泊松分布与二项分布的关系如果做-件事情成功的概率是P的话，那么独立尝试做这件事情n次，成功次数的分布就符合二项分布。展开来说，在做的n次中，成功次数有可能是0次、1次……n次。成功i次的概率是:・・（n屮选出i项的组合数）Pdf以上公式很容易推导，用一点概率学最基本的知识就够了。因为每一特定事件成功的概率是P,不成功的概率是1-poi次成功的事件可以任意分布在总共的n次尝试中。把它们乘起來就是恰好成功i次的概率。当我们把二项分布推而广之后，就可以得到泊松分布。可以这样考虑，在一

5、个特定时间内，某件事情会在任意时刻随机发生（前提是，每次发生都是独立的，且跟时间无关）。当我们把这个时间段分成非常小的时间片构成时，可以认为，每个时间片内，该事件可能发生，也可能不发生。儿乎可以不考虑发生多于一次的情况（因为时间片可被分的足够小）。当时间片分的越小，该时间片内发生这个事件的概率P就会成正比的减少。即：特定时间段被分成的吋间片数量n与每个吋间片内事件发生的概率p的乘积np为一个常数。这个常数表示了该事件在指定时间段发生的频度。回过头来再来看这段时间内，指定事件恰好发生i次的概率是多少

6、？代入上面推导出来的公式得Z2(Z2_1)•••(/?_'+1)”_p)n-i—np(np—/?)•・•(np一ip+0)((1一p)/〃厂"(1—PS当n趋向无穷大时，p趋向0。而此时（1-0）〃趋向e•这个关于i的分布就是著名的泊松分布了。二项概率的泊松逼近如果〃Too,"TO使得np=A保持为正常数，则对k=0丄2,致地成立。关于以上用到的一个极限的推导:（1-#）%当〃趋向于0时，为什么它的值趋向£?我们可知In兀的导数是二，由导数的定义可知1―lnxz-lnx—=lim；XxJxX-X令

7、/=x+-(n趋向无穷大)代到上式中，并用对数计算法则化简得到n-=lim(l+—)"X"Toonx1再令z二一，并再一次用对数运算法则化简可得zZz=limln(l+两边取指数函数，可变化为b=lim(l+—)〃"―"T8jqz当z二1时，我们可以得到特例：0=lim(l+—)n冋头再来看式子因为0趋向于0,所以兀二丄趋向无穷大。前式可P变形为:当n趋向无穷大的时候，跟(1+丄)"有相同的极限e.n1.泊松分布的特征1).泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布，要观察到这类事件，样木含量n必

8、须很大。2).2是泊松分布所依赖的唯一参数。其值越大，分布越偏，随着2的增大，分布趋于对称。3).当久=20时泊松分布接近于正态分布；当久=50时，可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中，当A>20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题o2.1泊松分布使用范围泊松分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数.即盅满足以下四个条件:1.给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义;2.各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；1.各区域内，事件发