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1、第四章第二节泊松分布(14)二、泊松定理三、泊松分布的数学期望与方差一、泊松分布一、泊松分布设随机变量X的分布律为称X服从参数为的泊松分布,记为显然有:（1）非负性:（2）规范性:定义:泊松分布是概率论中又一重要的概率分布.一方面,例如:某网站一段时间间隔内受到的点击次数;公共汽车站候车的乘客人数;炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数;落在显微镜上某种细菌个数…另一方面,很多随机现象都服从或近似服从泊松分布.泊松分布可看为二项分布的极限分布.对此有如下定理:二、泊松定理定理:设随机变量服从二项分布且满足其中概率与n有关,则证:
2、令，则对于任意固定的非负整数k，有证毕.故得在应用中,当且n很大，时,p很小有下面的泊松近似公式(其中)由于泊松分布有着广泛的应用,的数值已造成表(见书末附表1及附表2),计算时可查表.例1.为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人（配备多了浪费,配备少了又会影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解:设需配备N人,记同一时刻发生故障的设
3、备台数为X,那么所需解决的问题是确定的N,使得由泊松定理即查表知满足上式最小的N是8,即需至少配备8名维修工.（1）保险公司亏本的概率是多少?例2.保险事业是最早使用概率论的部门之一,保险公司为了估计其利润,需要计算各种概率.保险公司现在为社会提供一项人寿保险,据已有的资料显示:人群中与这项保险业务有关的死亡概率为0.0020,今有2500人参加这项保险,每个参保的人员在每年1月1日交付120元保险金,而在死亡时家属可从公司领取20000元保险金.试问:（2）保险公司赢利不少于100000元、200000元的概率是多少?分析:每
4、年1月1日,保险公司的收入元,若一年中死亡x人,则保险公司这一年应付出20000x元，因此“公司亏本”意味着20000x>300000即x>15人,这样“公司亏本”这一事件等价于“一年中多于15人死亡”的事件，从而转求“一年中多于15人死亡”的概率，“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机若把试验,则问题可用的伯努利试验来近似.由泊松定理,经查表可得：(1)(2)赢利不少于100000元，则意味着则同理，盈利不少于200000元,即设X为一年中这些参保人员里死亡的人数.则解:三、泊松分布的数学期望与方差其分布律为设，则作
5、业第四章1；2；3；4；5；6.预习:第二,三节
