数理逻辑练习题及答案-4

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1、一阶逻辑基本概念1．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：  （1）凡有理数都能被2整除。  （2）有的有理数能被2整除。其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。2．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：  （1）对于任意的x，均有x2-2=(x+)(x-)。  （2）存在x，使得x+5=9。其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。3．在一阶逻辑中将下列命题符号化：  （1）没有不能表示成分数的有理数。  （2）在北京卖菜的人不全是外地人。

2、  （3）乌鸦都是黑色的。  （4）有的人天天锻炼身体。4．在一阶逻辑中将下列命题符号化：  （1）火车都比轮船快。  （2）有的火车比有的汽车快。  （3）不存在比所有火车都快的汽车。  （4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。5．给定解释I如下：  (a)个体域DI为实数集合R。  (b)DI中特定元素=0。  (c)特定函数(x,y)=x-y，x,y∈DI。  (d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：x

3、x,y）,a)→G(x,y))  （3）xy(G(x,y)→┐F(f(x,y),a))  （4）xy(G(f(x,y),a)→F(x,y))1．给定解释I如下：  （a）个体域D=N（N为自然数）。  （b）D中特定元素=2。  （c）D上函数(x,y)=x＋y，(x,y)=x·y。  （d）D上谓词(x,y)：x=y。  说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：  （1）xF(g(x,a),x)  （2）xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))  （3）xyz(F(f(x,y),z)  （4）xF(f(x,x),g(x,x))2

4、．证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：  （1）x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))  （2）xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))答案1．  （1）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为0。       (b)中，x(G(x)∧F(x))，其中，G(x)：x为有理数，F(x)同(a)中，真值为0。  （2）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为1。       (b)中，x(G(x)∧F(x))，其中，F(x)同(a)中，G(x)：x为有理数，真值为1。2．  （1）(a)中，x(x2-2=(x+

5、)(x-))，真值为1。       (b)中，x(F(x)→(x2-2=(x+)(x-))))，其中，F(x)：x为实数，真值为1。  （2）(a)中，x(x+5=9)，真值为1。       (b)中，x(F(x)∧(x+5=9))，其中，F(x)：x为实数，真值为1。3.没指定个体域，因而使用全总个体域。  (1)┐x(F(x)∧┐G(x))或x(F(x)→G(x))，其中，F(x)：x为有理数，G(x)：x能表示成分数。  (2)┐x(F(x)→G(x))或x(F(x)∧┐G(x))，其中，F(x)：x在北京卖菜，G(x)：x是外地人。  (

6、3)x(F(x)→G(x))，其中，F(x)：x是乌鸦，G(x)：x是黑色的。  (4)x(F(x)∧G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x天天锻炼身体。  4.因为没指明个体域，因而使用全总个体域。  (1)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))，其中，F(x)：x是火车，G(y)：y是轮船，H(x,y):x比y快。  (2)xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y))，其中，F(x):x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y):x比y快。  (3)┐x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y)))   或x(F(x)→y(G(y)∧┐H(x,

7、y)))，其中，F(x):x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x比y快。  (4)┐xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))   或xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))，其中，F(x):x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x比y慢。5.  (1)xy(x

8、，真值为0。  (3)xyz(x+y=z),真值为1。  (4)x(x+x=x·x),真值为1。7.  (1