23内积空间与希尔伯特空间

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1、..2.3内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道维欧氏空间就是维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如为向量和的夹角时有：或者，其中表示两个向量的数量积(或点积或内积)，表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert空间．2.3.1内积空间定义1.1设是数域上的线性空间，若存在映射：，使得，，它满足以下内积公理：(1)；；正定性(或非负性)(2)；共轭对称性(3

2、)，线性性则称在上定义了内积，称为与的内积，为上的内积空间(Innerproductspaces)．当时，称为实内积空间；当时，称为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclidspaces)空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitaryspaces)空间．注1：关于复数：设，那么；其中为辐射角、；；；对于，有．注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性．注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的．因为，所以有word教育资料..，即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的．在

3、维欧氏空间中，，有，即．下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立．如果在内积空间上定义范数，其中，通过Schwarz不等式可证明为线性赋范空间，即需验证满足范数公理．引理1.1Schwarz不等式设为内积空间，有．证明当或者时，显然结论成立．假设及，那么有即令，则有，即，因此．□讨论什么条件下？Schwarz不等式中的成立．验证满足范数公理．(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：有word教育资料..故．因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数导出的距离为．例1.1在点列依范数收敛时，内积是的连续映射．即内积空间中的点列，依范数收敛，，那么有．证明因为当时，所

4、以有界，即存在正实数，使得，那么因此二元函数是连续函数．□2.3.2希尔伯特空间定义1.2设是数域上的内积空间，如果按内积导出的范数成为Banach空间，就称为Hilbert空间，简记为空间．注4：因为内积可导出范数，范数可导出距离，所以有内积空间线性赋范空间度量空间．其中称完备的线性赋范空间为Banach空间，完备的内积空间为Hilbert空间．下面给出一些Hilbert空间的例子．1、实内积空间是Hilbert空间．对于，维欧式空间上的标准内积定义为word教育资料..导出的范数为，距离为．□2、复内积空间是Hilbert空间．对于，维酉空间上的内积定义为导出的范数为，距离为．□3、复内积

5、空间是Hilbert空间．，，定义内积为由Cauchy不等式知，内积导出的范数为，距离为．□4、复内积空间是Hilbert空间．，定义内积为由荷尔德(Hölder)公式知内积导出的范数为，距离为．□2.3.3内积空间与线性赋范空间的关系对于一个内积空间而言，内积可诱导一个范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？定理1.1极化恒等式内积空间中的内积与范数的关系式．(1)在实内积空间中．(2)在复内积空间中．word教育资料..证明(1)由于在实内积空间中范数，所以．同理可证(2)复内积空间中的极化恒等式成立．□注5：从上证明过程可知，对于任何内积

6、空间有；对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：．由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？定理1.2内积空间的特征性质线性赋范空间成为内积空间，范数满足平行四边形公式．证明必要性因为，所以充分性首先定义内积，当是实内积空间时，定义；当是复内积空间时，定义．下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于是复word教育资料..内积空间时同理可证(练习)．由于，显然内积公理中的正定性成立；根据可知内积公理中的对称性同样成立．下面证明及有，．由平行四边形公式知：；．上述两式相减

7、并除以4得，即，特别地，取或得，，于是．利用归纳法可证对于正整数，成立，对于有理数，其中，有，于是得成立．因为对于实数，存在有理数列，所以有，利用范数的连续性知，故．□注6：对于线性赋范空间而言，上述定理表明：如果上的范数不满足平行四边形公式，那么上不存在这样的内积，使得它导出的范数就是上的范数．例1.2对于线性赋范空间，其中，范数定义为，距离为，前面章节的结论表明为Banach空间,word教育