希尔伯特空间

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1、一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X=（x1，x2，x3，....xn，

2、.....），一个点的序列。欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），

3、

4、X

5、

6、^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn'作为两点的内积。这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。如果光是用

7、来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。这个最早的Hilbertspace叫做l^2（小写的l上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。数学的发展可以说是一部抽象史。最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbertspace理论发展就正是如此：“内积+线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbertspace。单位闭区间上所有平方可积的实函数（就是说f（x）的平

8、方在[0，1]上的积分存在且有限）按照函数的加法和数乘成为一个线性空间，然后我们定义内积如下：=∫

9、f*g

10、dx，范数‖f‖=根号=根号∫（f）^2dx。容易验证它们满足内积和范数的几个公理（有兴趣的同学可以随便翻翻任何一本泛函书）。这样把（平方可积）函数看作一个个的点，由函数线性运算和以上定义的内积就构成一个函数空间，叫做L^2（大L2空间）。经过一些推理以后，可以证明（约化后的）L^2空间等价于小l^2空间（这个等价是指一种完全保留线性运算和内积的一一映射，我在这里就不具体讲了）。由于这个性质证起来简单，所以一般的泛函教科书都没有怎么重点提这个定理。可是对我而言，它却是

11、最有启发性的定理之一。这个定理我认为是继笛卡尔发明了坐标系把几何和代数联系起来以后这方面最伟大的成就，因为有了这个定理，我们就可以真正把一个函数也看作是某个空间里的一个点，而且在这个空间里也有距离：ρ（f，g）=‖f-g‖，有内积用来定出基，也就是坐标系（L^2的坐标系有很多种，最出名和常用的是三角函数系），换一句话说，我们可以用几何的工具来研究一族函数的性质了。说了这么半天，恐怕很多人还不知道为什么这们学科叫做*泛函*分析。什么是函数?最狭义的函数恐怕就是从实数（R^1）到实数的映射了。现在我们把定义域扩展为所有Hilbertspace上的点（经常本身就是一个函数了，象L^2），值域不变仍然

12、为实数，这样的映射就是所谓的泛函数简称泛函了。就像函数在实数理论里面占的地位一样，泛函在整个泛函分析里面也起到举足轻重的作用。最简单而又不太trivial的实函数大概就是线性函数了，同样的，泛函分析也从线性泛函讲起.（球星是个例外，我当时被迫从非线性泛函课开始，那个飞机坐的...）实数上有多少线性函数呢?无穷多?当然是:-），那么有多么无穷多?我们知道所有线性实函数都具有这种形式：f（x）=kx，k是一个实数。而且反过来说，不同的k都对应着一个不同的线性实函数。这样我们就有了一个从R^1上所有线性实函数到R^1自身的一一对应。也就是说，这个函数空间和R^1自身等价。对于Hilbertspace

13、也有类似的结论：一个Hilbertspace的对偶空间（就是所有它的线性连续泛函组成的空间）等价于它自身，进一步，所有的线性连续泛函I（f）:H--->R可以表示成为内积的形式:I（f）=forsomeg*inH。（对了在这里再重新提一下，常用的平方可积函数空间L^2的内积是积分的形式:∫f*g，f，g∈L^2，所以所有的线性连续泛函就都是带一个因子g的积分了.）这个Hilbertsp