希尔伯特空间.docx

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1、希尔伯特空间在数学领域，希尔伯特空间又叫完备的内积空间，是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公设化数学和

2、量子力学的关键性概念之一。希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界自伴算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受。一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为矢量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可

3、以表示为一个复希尔伯特空间，其中的矢量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波和丛缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间。定义：在一个复数矢量空间上的给定的内积可以按照如下的方式导出一个范数（norm）：此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。任何有限维内积空间（如欧几里得空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看，无穷

4、维的希尔伯特空间更有价值，例如，酉群（unitarygroup）的表示论；平方可积的随机过程理论；函数的谱分析及小波理论；量子力学的数学描述。内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑矢量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。常见

5、的例子在以下例子中，假设所有的希尔伯特空间都是复数，尽管实际应用中大多是实数。欧几里得空间及其上的内积构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。序列空间更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设是一个任意集合，可以定义其上的序列空间，记为此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：其中和是中的任意元素。在这个定义中，并非一定要是可数的，在不可数之情形下，不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的的情况下，都可以表示成为的一个同构空间。特别地，当的时候，可以将其简单记为。[编辑]希尔伯特空间的相互作用给定任意两个

6、（或更多）希尔伯特空间，利用直和或张量积的方式，可以给出一个更大的希尔伯特空间。希尔伯特空间的基希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基，即其上的一族函数满足：(1)所有元素都是单位化的：即对于任意，，。（2）所有元素彼此正交：若和是这族基中的不同元素，那么。（3）其线性扩张稠密：即其中的所有元素的有限的线性组合是的一个稠密子集。有时也使用标准正交列或标准正交集指代。