专题十 内积空间与希尔伯特空间(讲稿).ppt

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1、专题十内积空间与希尔伯特空间元素的长度（范数）内积空间与希尔伯特空间内积空间+完备性希尔伯特空间欧氏空间线性空间+内积内积空间两向量夹角与正交内积空间特点：内积与内积空间一、内积空间与希尔伯特空间的概念内积公理定义1设H是数域K上的线性空间，定义函数<·,·>:HHK,使对对x,y,zH,K,满足=+=4)0,且=0x=0则称为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为内积空间。注：1)当数域K为实数域

2、时，称H为实的内积空间；当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。2)<x+y,z>=+3)=4)=<y,x>=3)=<y+z,x>=+2由内积诱导的范数及由内积诱导的距离定义2(1)范数称为由内积诱导的范数。(2)距离函数称为由内积诱导的距离。注:(1)内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系——许瓦兹不等式

3、

4、

5、

6、x

7、

8、

9、

10、y

11、

12、(2)内积与由内积诱导的范数的等式关系：(3)由内积

13、诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导出的范数，是线性赋范空间。但反之不然3线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件定理1线性赋范空间X是内积空间x,yX,有

14、

15、x+y

16、

17、2+

18、

19、x-y

20、

21、2=2

22、

23、x

24、

25、2+2

26、

27、y

28、

29、(平行四边形公式或中线公式)定义3设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。4希尔伯特空间例1n维欧氏空间Rn按照内积是内积空间。Rn中由内积导出的距离为Rn按照由内积导出的范数因而是Hilbert空间。是Banach空

30、间，例2l2空间按照内积是内积空间。l2按照由内积导出的范数是Banach空间，因而是Hilbert空间。l2中由内积导出的距离为(许瓦兹不等式)例3L2[a,b]空间按照内积是内积空间。L2[a,b]按照由内积导出的范数是Banach空间，因而是Hilbert空间。L2[a,b]中由内积导出的距离为C[a,b]中范数不满足平行四边形公式，例4C[a,b]按照范数是线性赋范空间，但C[a,b]不是内积空间证取x=1,y=(t-a)/(b-a)C[a,b]

31、

32、x

33、

34、=1,

35、

36、y

37、

38、=1

39、

40、x+y

41、

42、=max

43、

44、1+(t-a)/(b-a)

45、=2,

46、

47、x-y

48、

49、=max

50、1-(t-a)/(b-a)

51、=1

52、

53、x+y

54、

55、2+

56、

57、x-y

58、

59、2=54=2(

60、

61、x

62、

63、2+

64、

65、y

66、

67、2)因而不是由内积导出的范数C[a,b]不是内积空间5内积空间中的极限证xnx

68、

69、xn-x

70、

71、0yny

72、

73、yn-y

74、

75、0

76、-

77、-

78、+

79、-

80、

81、

82、xn-x

83、

84、

85、

86、yn

87、

88、+

89、

90、x

91、

92、

93、

94、yn-y

95、

96、0(n)定义4（极限）设X是内积空

97、间，{xn}X,xX及yX,定理2设H是希尔伯特空间，则H中的内积是x,y的连续函数,即{xn}、{yn}H,x,yH,若xnx,yny,则注：距离函数、范数、内积都是连续函数（线性运算对内积的连续性）6内积空间的完备化定义5(内积空间的同构)设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存在映射T:XY,保持线性运算和内积不变，即x,yX,,K,有(1)T(x+y)=Tx+Ty,(2)=则称内积空间X与Y同构，而称T为内积空

98、间X到Y的同构映射。定理3设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空间是唯一的。二、内积空间中的正交分解与投影定理在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念，而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于0，而向量x在空间中坐标平面上的正交投影向量x0是将向量的起点移到坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且有x=x0+x1,其中x1该坐标平面。这时称x=x0+x1为x关于做表面的正交分解。下面将把

99、正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。x0x1x1正交的概念定义5(正交)设H是内积