北航2015-2016年工科数分(1)期末_A卷_答案

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1、A北京航空航天大学2015－2016学年第一学期期末考试《工科数学分析（Ⅰ）》（A卷）班号学号姓名主讲教师考场成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人2016年01月20日Page8of8A一、选择题（每题4分，满20分）1.下列命题中错误的是（D）A.若在区间内的原函数是常数，则在内恒为B.若上可积,则上必有界；C.若上可积,则在区间上也可积；D.若上不连续，则上必不可积.2.设满足等式，则=（B）A.B.C.D.3.设函数可导，则（C）A.B.C.D.4.下列广义积分中，发散的是（C）A.B

2、.C.D.5.瑕积分（C）A.B.C.D.Page8of8A一、计算题（每题6分，满分30分）1.解：建议：拆成两项2分，积分计算各2分。2.解：由对称性：（其中可以看做圆心在原点，半径为１的上半圆的面积，也可以利用公式来计算.）建议：对称性3分，剩下计算3分。3.解：令建议：根式带换3分，剩下计算3分。Page8of8A4.解：建议：等价代换2分，变上限求导3分，结果1分。5.已知求解：建议：分部积分2分，计算2分，结果2分。一、(本题8分)利用定积分定义，求极限解：-------2分------

3、-2分-------2分-------2分Page8of8A一、(本题10分)求二阶线性非齐次常微分方程的通解.解：特征方程：-------2分容易求得两个特征根为：-------1分对应齐次方程的通解为：-------1分因为不是特征根，我们设非齐次方程的特解-------2分带入方程，我们有所以，-------2分于是非齐次方程的特解为-------1分非齐次方程的通解为-------1分二、(本题12分，每小题6分)判断下列广义积分的敛散性，若收敛，并判别是绝对收敛或条件收敛.（1）（2）.解

4、：注意到：-------2分对于任意的，我们有-------2分因为，收敛．由比较判别法，我们可知无穷积分收敛.进而，绝对收敛．-----2分Page8of8A(注：时，，原广义积分与具有相同的敛散性.)（2）.解：首先，令-------1分另一方面，我们注意到函数单调递减并且-------1分由Dirchilet判别法可知，无穷积分收敛．-------1分其次，注意到-------1分类似于的证明，我们可知无穷积分收敛．-------1分又因为无穷积分发散，于是，无穷积分发散．-------1分进

5、而，无穷积分条件收敛。一、(本题10分)过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成一平面图形D，计算（1）D的面积；（2）D绕轴旋转一周所成旋转体的体积.解：假设切点坐标为，-------1分则由曲线方程及处切线方程解得，-------2分从而切线方程为.-------1分则平面图形D的面积为-------3分（积分公式2分，结果1分）D绕轴旋转一周所成旋转体的体积为Page8of8A-------3分（积分公式2分，结果1分）一、(本题10分)设函数上连续，满足证明：函数在内至少存在两个零点.证

6、明:方法一：若则结论成立；-------1分若连续函数不恒为0，则必在内存在零点.否则若函数在区间上不变号，这与已知条件矛盾.-------2分(或由积分中值定理,,满足,即)假定在内只有唯一零点,-------1分则在及上异号,-------1分从而在上不变号,-------1分且不恒为0,所以严格大于0或小于0,-------2分而由已知条件,矛盾,-------1分所以假设不成立,在内至少存在两个零点.-------1分方法二：设-------1分则由已知条件知-------1分又由的连续性可

7、知在上可导，且-------1分则-------2分由积分第一中值定理,,满足.-------2分即，-------1分在上分别应用罗尔定理，可得即在内至少存在两个零点.-------2分Page8of8A一、附加题(本题10分)设在在上有连续的二阶导数，且，又不恒为零，证明：(提示：在内取到最大值)证明：由条件知在内取到最大值，假定为最大值点，即-------1分在上分别对使用Lagrange中值定理可得满足------4分（每个公式2分）则-------2分（每个不等式放缩1分）-------1

8、分-------2分故有Page8of8