2011年基础班讲义(高数)

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1、2011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航一函数、极限与连续（一）本章重点内容1.本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限，求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1）利用极限的四则运算法则及函数的连续性；（2）利用两个重要极限，两个重要极限即（3）利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；（4）利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；（5）利用夹逼定理；（6）先证明数列的极限存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7）利用定积分求某些和式的极限；（8）利用导数的定

2、义；（9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零。这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有多种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活.2.由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限，因此这部分也是重点。3.在函数这部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算,以及常用的4类函数及函数的8种表现形式.通过历年试题归类分析，本章常见的典型题型有：1.直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；2.讨

3、论函数的连续性、判断间断点的类型；3.无穷小的比较；4.讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；5.求分段函数的复合函数。792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航(二)题型分析主要是求未定式的极限及反求参数主要方法：①洛必达法则②等价无穷小替换③8个重要极限的应用④左右极限法⑤未定型中型的解题技巧⑥两边夹准则的应用⑦递归法求极限⑧利用连续性反求极限⑨利用导数求极限⑩利用定积分求极限⑾利用级数反求极限（4个反求极限）⑿利用函数极限求数列极限⒀利用泰勒公式求极限1.关于无穷小例1.比较当时，，，的阶.例2.记住①当时，，，，，趋于

4、的速率为依次递增.②当时，，，，，趋于零的速率为依次递增.例3.792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航例4.练习；2.关于洛必达法则例1.例2.例3.确定a,b,c使792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航3.型中一个重要技巧例1.例2.4.左右极限法①用于分段函数分界点处极限的处理②用于函数左右极限不相等情况的处理.如，③特别带绝对值符号的情况的处理。例1.求792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航例2.例1.确定a，使存在5.两边夹准则求极限在N项以后成立即可，若，且易求，可得.主要用放缩法：①分母扩大或缩小②利用极

5、限不等式性质③利用定积分不等式的性质等例1.例2.[x]表示不超过x的最大整数部分，求792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航例3．设（m2）求，例4．设且，则A0B存在，不一定为0C不一定存在D一定不存在6用递归法求极限若（n=1,2）,为一元连续函数，由可求出，方法：利用单调有界数列必收敛，证其收敛，然后，设，对递归方程，两边取极限得：A=,解出A即可。事实上，递归数列的单调性和的单调性有关！例1．设试证{}收敛，并求例2．设，求792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航7利用函数极限求数列极限洛必达法则对数列极限不适用，但转化为

6、函数极限时适用，故可视为函数极限的子列的极限即可！例如：若求，只需即可.例1．求8．利用定积分反求极限例．下面为一些综合性例子1．2求792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航3．求4．若为x的3阶无穷小，求a,b5.9.关于连续间断问题例1．求在（0,）内间断点，并判断其类型。例2.=在R连续，且，则a,b满足Aa<0,b<0Ba>0,b>0Ca0,b>0Da0,b<0792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航例3.设，则为的A连续点B第一类间断点C第二类间断点D和t有关例4.下列正确结论为：A在处连续，在间断.则在一定间断.B连续，

7、在间断.则在必间断.C在处连续，在间断.则在一定间断.D以上均不正确.792011启航考研数学基础班讲义实实在在精彩启航二一元微分学(一)本章重点内容一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，内容多，影响深远，在后面绝大多数章节都要涉及到它.本章内容归纳起来有以下几个部分：1.概念部分：导数和微分的定义，特别要会利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系；2.运算部分：基本初等函数的导数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式，特别掌握“链式法则”.3.在一点的导数意义特别重要.4.

8、学会求曲线，尤其是隐函数给出的曲线的切线法线方程.(二)题型分析一．求各类一元函数的导数和微分