强化班高数讲义

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1、2009年考研数学春季强化班高数讲义主讲:武忠祥西安人信培训学校2008年5月107第一章函数极限连续一.函数1.函数的概念(定义、定义域、对应法则、值域)2.函数的性态1)单调性定义:单调增:单调不减:判定:(1)定义:(2)导数:设在区间上可导,则a)单调不减;b)单调增;2)奇偶性定义:偶函数奇函数判定:(1)定义:(2)设可导,则:a)是奇函数是偶函数;b)是偶函数是奇函数;(3)连续的奇函数其原函数都是偶函数;连续的偶函数其原函数之一是奇函数。3)周期性定义:判定:(1)定义;(2)可导的周期函数其导函

2、数为周期函数;(3)周期函数的原函数不一定是周期函数;4)有界性107定义:若则称在上有界。判定:(1)定义:(2)在上连续在上有界;(3)在上连续,且存在在上有界;(4)在区间(有限)上有界在上有界;3.复合函数与反函数(函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)4.基本的初等函数与初等函数基本初等函数:常数,幂函数,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.题型一复合函数例1设的定义域为,则的定义域为(A)(

3、B)(C)(D)例2已知且求及其定义域。例3设,试求.()题型二函数性态例1函数在下列哪个区间内有界。107(A)(B)(0,1)(C)(D)(2,3)例2以下四个命题中正确的是(A)若在内连续,则在内有界;(B)若在内连续,则在内有界;(C)若在内有界,则在内有界;(D)若在内有界,则在内有界。例3设是恒大于零的可导函数,且时,有(A)(B)(C)(D)例4设函数则存在,使得(A)内单调增加;(B)内单调减少;(C)对任意的;(D)对任意的。注:1)在的某邻域内单调增;2)当时,;当时,。二.极限1.极限概念1

4、)数列极限::,当时.2)函数极限:(1)自变量趋于无穷大时函数的极限:,当时.107和的定义与类似。(2)自变量趋于有限值时函数的极限:,当时。右极限:.左极限:.几个值得注意的极限:,2。极限性质1)有界性:收敛数列必有界;2)有理运算性质:若.那么:;;两个常用的结论:1)存在,2)3)保号性:设(1)如果,则存在,当时,.(2)如果当时,,那么.4)函数值与极限值之间的关系:.其中1073。极限存在准则1)夹逼准则:若存在,当时,,且则2)单调有界准则:单调有界数列必有极限。4。无穷小量1)无穷小量的概念

5、:若,称为无穷小量(或).2)无穷小的比较:设.(1)高阶:若;记为(2)同阶:若;(3)等价:若;记为(4)无穷小的阶:若,称是的阶无穷小.5。无穷大量1)无穷大量的概念:若,称为时的无穷大量。2)无穷大量与无界变量的关系:无穷大量无界变量3)无穷大量与无穷小量的关系:无穷大量的倒数是无穷小量;非零的无穷小量的倒数是无穷大量。题型一求极限方法1.利用有理运算法则求极限例1例2107解1:原式例3.设,求解:方法2.利用基本极限求极限常用的基本极限,,,,例.;方法3.利用等价无穷小代换求极限1.常用等价无穷小当

6、时,,2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系,而不能用在加、减关系。例1.求极限.解:原式==107例2.。解1.罗必达法则(繁)解2.原式注:利用拉格朗日中值定理。例3.若,求例4.;方法4.洛必达法则:若1)2)和在的某去心邻域内可导,且3)存在(或);则例1.例2.例3.例4.例5.方法5泰勒公式泰勒公式:(皮亚诺余项)设在处阶可导,那么107其中。例1.若,则等于(A)0;(B)6;(C)36;(D)解1解2则例2;解:;例3.已知其中二阶可导,求及解:,107方法6利用夹逼准则求极限例1.求例2求极限

7、其中。例3设求方法7利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限)例1.设证明:数列极限存在并求此极限。例2.设,求极限。例3.设数列满足。1)证明存在,并求该极限;2)计算方法8利用定积分的定义求极限例1.求.例2.求;例3.求题型二已知极限确定参数例1.若求.解:由于分式极限存在,分母趋于零,则分子趋于零,从而107由罗必达法则知:,则。。例2.若求.解:原式例3.若求.原式例4.设,求及.(题型三无穷小量阶的比较例1.当时,与是等价无穷小,则=由例2.若时,是的几阶无穷小107由即是的9阶无穷小.例3

8、.已知时,与等价无穷小,求.解1对极限用洛比达法则。解2;三.连续1。连续的定义:若,称在处连续,左右连续定义:若称在左连续若称在右连续连续左连续且右连续2。间断点及其类型1)第一类间断点:左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限的间断点跳跃间断点:左极限右极限的间断点2)第二类间断点:左,右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点:时,振荡间断点:时,振荡3。

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