2014海文高数赵达夫强化班讲义

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1、2014海文考研强化班讲义1高等数学强化讲义一函数极限连续§1函数一函数的基本概念D是一个非空实数集合，设有一个对应规则f，使每一个xD，都有一个确定的实数y与之对应，则称这个对应规则f为定义在D上的一个函数关系，或称变量y是变量x的函数，记作yfx(),xD.二函数的基本性态1奇偶性(1)定义：偶f(x)f(x)；奇f(x)f(x)。(2)导函数：奇导偶，偶导奇.(3)原函数：奇原偶,偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数,其中x偶,()fx奇ftdt()0奇,fx()偶2有界性(1)定义：M0,xX，有f(x)M.(2)无界：M

2、0,xX，有fx()M.(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。(4)常见有界的判定：设f(x)在ab,连续,则f(x)在ab,有界.设f(x)在(,)ab连续,且lim(),lim()fxfx存在,则f(x)在(,)ab有界.xaxb3周期性(1)定义：f(xT)f(x)2(2)导函数：导函数还是周期函数并且周期相同注：周期函数的原函数不一定为周期函数。4单调性(1)定义：递增(递减)当xx时，均有fx()fx()或fx()fx()121212(2)导函数：fx'()()0

3、fx()单增(减)；fx'()()0fx()单增(减).题型一无界与无穷的判定cosx例1设fx()xesin,x则fx()是（）（A）偶函数（B）有界函数（C）周期函数（D）单调函数.11例2当x0时，变量sin是（）x2x（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的，但不是无穷小量（D）无界的，但不是无穷大题型二函数性态的判定例3设fx()是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是()xx（A）ft()f()tdt（B）ft()f()tdt00（C）fx'()（D）根据上面条件无法判断3例4设函数fx()具有二阶导数，并满

4、足fx()f(x),且fx()fx(1).若f'(1)0,则（）(A)f''(5)f'(5)f(5).(B)f(5)f''(5)f'(5).(C)f'(5)f(5)f''(5).(D)f(5)f'(5)f''(5).练习：设fx()在(,)内可导，且对任意x,x，当xx时，都有1212f(x)f(x)，则()12（A）对任意x,f'(x)0（B）对任意x,f'(x)0（C）函数f(x)单调增加（D）函数f(x)单调增加.

5、

6、sin(xx2)例5设函数fx()在下列哪个区间内有界()2xx(

7、1)(x2)A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)三各种其他的函数1分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达2复合函数[()]x：yf(u)与u(x)复合而成的复合函数,u为中间变量.3反函数、隐函数(1)原来的函数为yf(x),若把y作为自变量，x作为因变量，便得一个函数4x(y)，且f[(y)]y，称x(y)为yf(x)的反函数.(2)隐函数:Fxy(,)0.4初等函数(1)基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角.(2)由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数.题型三分段函数

8、的复合方法：各种情形分别讨论.20,x02xx,1例6设fx(),gx()，试求fgx[()],[()]gfx.1,x0

9、

10、2,xx1§2极限一极限的概念1数列极限：limxa对于0N0当nN时有x－a.nnn2函数的极限(1)xx(自变量趋向于有限值的情形)0(a)limf(x)Axxfx,()A0，0，当0

11、xx

12、时，00xx0有

13、f(x)A

14、.(b)limfx()A(左极限)xx,()fxA.101xx0limfx()A(右极限)xx,()fx

15、A.202xx0(c)limf(x)Alimfx()limfx()A.xx0xx00xx(2)x(自变量趋向于无穷大的情形)(a)lim()fxAx,()fxA0，M0，当

16、

17、xM时，x有

18、f(x)A

19、.(b)limfx()Ax,()fxA.11x5lim()fxAx,()fxA.22x(c)lim()fxAlim()fxlim()fxA.xxxx(3)常见有不同极限的函数：分段函数、ex,arctan二极限的性质1有界性：limxax