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1、高等数学讲义赵达夫1一函数、极限与连续（一）本章的重点内容与常见的典型题型１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1）利用极限的四则运算法则及函数的连续性；（2）利用两个重要极限，两个重要极限即nx111⎛⎞⎛⎞lim1⎜⎟⎜⎟+=+=+=lim1lim1()xxe,nxx→∞⎝⎠⎝⎠nx→∞→0sinxlim=1;x→0x（3）利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；（4）利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；（5）
2、利用夹逼定理；（6）先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7）利用定积分求某些和式的极限；（8）利用导数的定义；（9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零。这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。３．在函数这一部
3、分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。2通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型；３．无穷小的比较；４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；５．求分段函数的复合函数。3（二）知识网络图“ε－Ｎ”定义极限概念“ε－Ｘ”定义“ε－δ”定义唯一性数列整体有界极限性质有界性函数局部有界保号性夹逼定理１极限存在准则单调有界数列有极限n⎛⎞1lim⎜⎟1+=e极限n→∞⎝⎠n求极限的２两个重要的极限
4、sinx主要方法３函数的连续性lim=1x→0x0∞４用导数的定义型、型转换0∞５洛必达法则∞−∞型、0⋅∞型∞0010、、∞型６等价无穷小替换７泰勒公式８用函数极限求数列极限无穷小量与无穷大量的定义、关系无穷小量的运算性质无穷小量无穷小量与极限的关系无穷小量的阶、等价无穷小量初等函数的连续性连续的概念分段函数连续性判定最值定理闭区间上连续函数的性质介值定理连续性可去第一类——左右极限都存在跳跃间断点的分类第二类——左右极限中至少有一个不存在4（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型一求复合函数−x1⎪⎧ex,0<,［
5、例1.1］设f()xx=+()x,()gx=⎨求与f()()g()xgf().x22,0,⎪⎩xx≥题型二利用函数概念求函数的表达式2x［例1.2］已知fxef()==,[ϕϕ()1x]−x且求(x)0,≥ϕ(x)并写出它的定义域．题型三判断函数的性质sinx［例1.3］设fxx()=tanxe,则fx()是（）（A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数.5题型四求极限的方法2352x+［例1.4］填空题limsin=____.x→∞53xx+［例1.5］求下列极限1tan+−x1sin+x()1lim;
6、x→0xx()1cos−2411xxx+−++()2lim;x→−∞2xx+sin213sinxx+cosx()3lim.x→0()1cosln1++x(x)［例1.6］求下列极限⎛⎞11()1lim⎜⎟−;22x→0⎝⎠sinxx6⎡⎤⎛⎞⎛⎞31⎛⎞⎛⎞()2limx⎢⎥sinln1⎜⎟⎜⎟+−sinln1⎜⎟⎜⎟+;x→∞⎣⎦⎝⎠⎝⎠xx⎝⎠⎝⎠x⎛⎞21()3limsin⎜⎟+cosx→∞⎝⎠xx［例1.7］选择题21x−1当x→1时，函数ex−1的极限是（）.x−1（A）2;（B）0；（C）∞；（D）不存在
7、但不为∞.⎧axx(sin−)⎪,0x>,⎪3x［例1.8］设fx()=⎨问a为何值时limf()x1x→0⎪x2⎪⎩()2sinxt−<∫0sin()dt,x0,x存在.7222xx−∫0cos(tdt)［例1.9］求lim.10x→0sinx［例1.10］选择题561cos−x2xx设函数fx()==sin()tdtgx,()+，则当x→0时，f()x∫056是gx()的（）（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小1xt222−x［例1.11］求lim()1+tedt.∫0x→∞
8、xax−sinx［例1.12］确定a，b，c值，使lim=CC()≠0.x→0ln1()+t3xdt∫bt8［例1.13］填空题x⎛⎞xa+2设lim⎜⎟==8,则a____.x→∞⎝⎠xa−［例1.14］选择题x22x→0时，ea−++(xbx1)是比x高阶无穷小，则（）1（A）ab==,1（B）ab=1,=121（C）ab=−,1=（D）a
