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1、高等数学强化讲义一函数极限连续§1函数一函数的基本概念是一个非空实数集合，设有一个对应规则，使每一个，都有一个确定的实数与之对应，则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系，或称变量是变量的函数，记作.二函数的基本性态1奇偶性(1)定义：偶；奇。(2)导函数：奇导偶，偶导奇.(3)原函数：奇原偶,偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数,其中2有界性(1)定义：,，有.(2)无界：,，有.(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。(4)常见有界的判定：设在连续,则在有界.设在连续,且存在,则在有界.3周期性(1)定义：(2)导函数：导
2、函数还是周期函数并且周期相同注：周期函数的原函数不一定为周期函数。4单调性(1)定义：递增(递减)当时，均有100(2)导函数：单增(减)；单增(减).题型一无界与无穷的判定例1设（A）偶函数（B）有界函数（C）周期函数（D）单调函数.例2当时，变量是（）（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的，但不是无穷小量（D）无界的，但不是无穷大题型二函数性态的判定例3设是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是()（A）（B）（C）（D）根据上面条件无法判断例4设函数具有二阶导数，并满足且若则（）(A)(B)100(C)(D)练习：设在内可导，且对任意，当时，都有，则()（A）对
3、任意（B）对任意（C）函数单调增加（D）函数单调增加.例5设函数在下列哪个区间内有界()A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)三各种其他的函数1分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达2复合函数：与复合而成的复合函数,为中间变量.3反函数、隐函数(1)原来的函数为,若把作为自变量，作为因变量，便得一个函数，且，称为的反函数.(2)隐函数:.4初等函数100(1)基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角.(2)由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数.题型三分段函数的复合方法：各种情形分别讨论.例6设,，试求.§2
4、极限一极限的概念1数列极限：对于当时有.2函数的极限(1)(自变量趋向于有限值的情形)(a)，，当时，有.(b)(左极限).(右极限).(c).(2)(自变量趋向于无穷大的情形)(a)，，当时，有.(b)..(c).100(3)常见有不同极限的函数：分段函数、二极限的性质1有界性：有界；有界2有理运算性质：(1)若,,则(a)(b)(c).(2)推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不为0，上述运算法则就成立.(3)延伸：若，则(a)(b).例设，求和.3保号性：当有三极限的两个存在准则(1)单调有界定理:若数列单调且有界,则有极限.(2)夹
5、逼准则:设在的领域内恒有,且,则.四无穷小和无穷大1无穷大量:若,称为的无穷大量.正无穷：；负无穷：.2无穷小量：若,称是时的无穷小量。100(1)设、都是时的无穷小量,若且，(a)，称是比高阶的无穷小，记以,(b)，称与是同阶无穷小。(c)，称与是等阶无穷小，记以.(2)若为无穷小,且,称的阶无穷小.(3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小;有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小.(4)等价无穷小的作用:若,则.(5)如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理.3无穷小和无穷大关系:非零无穷小的倒数为无穷大;无穷大的倒数为无穷小.题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论核心点
6、：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形例1设对有且,则()A存在且为0B存在但不一定为0C一定不存在D不一定存在例2设数列与满足,则下面断言正确的是()A若发散，则必发散，B若无界，则必有界C若有界，则必为无穷小D若为无穷小，则必为无穷小100例3设均为非负数列,且,，,则()ABC不存在D不存在例4设函数在内单调有界,为数列,下面命题正确的是()A若收敛，则必收敛B若单调，则必收敛C若收敛，则收敛D若单调，则收敛题型二求函数的极限步骤1：四则运算和等价无穷小注1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形.注2：常见的等价无穷小当时，，，，，，，，当时,.例5求极
7、限.例6若是等价无穷小，则100例7.例8求例9求例10求例11求例12设,求步骤2：恒等变形(1).含的极限.100(a)若直接计算且,直接利用公式(b)将写成求解.例13求.例14(2)有理化变形例15(3)分子、分母同时除以最大的无穷大常见的无穷比较:例16求例17设,求.100步骤3：洛必达法则和导数定义(1)先进行步骤1和2，然后再用第3步,符合洛必达法则用洛比达法则;(2)若洛必达法则无法使用,则利用导数定义求解,此类问题一般为抽象型问题.例18求例19设函数，则当时，是的（）[无穷小量的比较]（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无
